"Godhet utan vishet och utan
gränser är bara en annan
form av ondska."
(John Paterson)

"Mänsklighetens bästa är alltid
tyrannens alibi!"

"Det är synd att 99% av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
(Okänd)

"Om du ropar "Gud är stor"
samtidigt som du spottar på
skändade kroppar av judiska
kvinnor, så hävdar jag att
din gud inte är en gud värd
att tillbe!

"När försiktigheten finns överallt,
finns modet ingenstans."
(den belgiske kardinalen Mercier)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(Hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

Teoretiska tillämpningar av principle of least action

 

(Note: at the top of the page you can choose translation of this article to other languages, but don't expect the translation to be perfect — "Välj språk" means "Choose language")

Som nämnts i huvudtexten så utspelar sig Lagrange- och Hamiltonformalismen i konfigurations- respektive fasrummet. Dessa rum är mångdimensionella, abstrakta rum, som inte har någon direkt koppling till det vanliga tredimensionella rum, där människan och universum existerar. För ett system av n partiklar är fasrummet 6n-dimensionellt. Dvs om ett system består av 100 partiklar (eller kroppar eller delar) är fasrummet 600-dimensionellt, med 300 rumsdimensioner [x₁,y₁,z₁ för partikel 1, x₂,y₂,z₂ för partikel 2 etc] och 300 rörelsemängdsdimensioner [p_1x,p_1y,p_1z för partikel 1, p_2x,p_2y,p_2z för partikel 2 etc].

Valet av ett sådant rum kan tyckas långsökt, men har stora fördelar (annars skulle man ju inte välja sådana rum). 100 partiklar i det vanliga tredimensionella rummet kommer att beskrivas av tre koordinater för varje partikel (x_k,y_k,z_k för partikel k), vilket utgör en punkt i detta rum (som anger var respektive partikel befinner sig). 100 partiklar beskrivs då av 100 punkter (som i allmänhet rör sig olika fort och åt olika håll). Vilket är så vi upplever och ser det. I Hamiltonformalismen beskrivs i stället hela systemet bestående av 100 partiklar av en enda punkt i ett 600-dimensionellt fasrum (vi har en enda punkt oavsett hur många partiklar systemet består av — enda skillnaden är antalet axlar/dimensioner). Och systemets tidsutveckling beskrivs av hur denna punkt rör sig i fasrummet. Dvs oavsett av om systemet består av en enda partikel eller myriarder av partiklar, så beskrivs det av en väldefinierad punkt som rör sig längs en kurva i fasrummet. Detta rum går inte att föreställa sig visuellt eller illustrera mer än principiellt. Vilket inte är något problem matematiskt. Matematiken kan lika gärna handskas med miljarder dimensioner som med tre eller en. Kvantmekaniken utspelar sig t ex i ett oändligtdimensionellt Hilbertrum. Genom att analysera ett systems väg genom fasrummet (systempunkten som rör sig längs den graf som beskriver systemets tidsutveckling) kan man få djupa, teoretiska insikter i komplexa systems (mekaniska eller andra) egenskaper. I fallet ergodiska system (se nedan) kan man avgöra om ett system är deterministiskt eller slumpmässigt, om det är tidsreversibelt eller irreversibelt, om det är stabilt eller instabilt och om det befinner sig i jämvikt eller ej. Etc.

Låt mig genom ett enkelt exempel ge läsaren en känsla för det jag vill förmedla. Det var nog nästan 50 år sedan jag höll med sådana här saker och mycket är bortglömt. Jag skulle kunna friska upp minnet men det skulle en massa tid så jag skall göra det väldigt enkelt för mig. Utan några komplicerade detaljer.

Betrakta följande två enkla funktioner:

p(t)=p₀+αt
                     (mod 1)
q(t)=q₀+t

Dessa funktioner beskriver, i parameterform, en rät linje i fasrummet (α, dvs grekiska bokstaven lilla alfa, är linjens riktningskoefficient, vilken är ett mått på dess lutning). Normalt skrivs en rät linje som y=kx+m, där k är riktningskoefficienten. I exemplet är q lika med x-värdet och p lika med y-värdet och t är tiden. Startpunkten (vid t=0) är (q₀,p₀). Uttrycket "(mod 1)" uttalas "modulo ett" och innebär att när den räta linjens q- eller p-värde blivit 1 så börjar q eller p om igen från 0. Varje gång p blir 1 hoppar p-värdet tillbaka till 0 och motsvarande för q. Detta leder till att samma räta linje, med riktningskoefficient α, ritas upp flera gånger men förskjuten i sidled (för q<1 och p<1). De horisontella räta linjerna (3 st) i vänstra grafen nedan visar när q hoppar från 1 till 0, medan de vertikala räta linjerna (4 st) visar när p hoppar från 1 till 0. Vi kommer således att få upprepade sammanbundna kopior av delar av denna räta linje, vilka är instängda i enhetskvadraten mellan punkterna (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). (se vänstra figuren nedan).

Dessa grafer gjorde jag för kanske 50 år sedan. Då hade man inte skrivbordsdatorer, vare sig hemma eller på jobbet. På fysikum i Stockholm, där jag jobbade då, hade man en terminal på skrivbordet. Denna hade inte ens hårddisk utan var kopplad till en stordator. Mus fanns inte vid den här tiden utan det var piltangenter som gällde. Men jag hade köpt en liten fiffig dator som endast kunde programmeras i Basic. En Sharp CE-150. Det första program jag skrev för denna var ett plottingprogram för att kunna rita grafer av olika typer (och så var det ju på den tiden — fanns inga plottingprogram till den datortyp man hade, fick man göra ett själv) och de två graferna ovan är gjorda med detta program. Jag kunde givetvis hittat snyggare figurer för att illustrera mitt resonemang, men nostalgifaktorn är inte att förakta.

När jag ser bilderna ovan blir jag som sagt nostalgisk. Sharp CE-150 var en fantastisk liten dator för sin tid, vilket föranledde mig att skriva en kort, allmänbildande hyllningsartikel till den. Med några reminiscenser från datorernas barndom. Klicka här för att läsa.

I vänstra figuren ser vi plottningen av de två ekvationerna ovan för q₀=0,2, p₀=0,1 och α=3/4 och (mod 1). q-värdet hoppar tillbaka till noll 3 gånger och p-värdet hoppar tillbaka till noll 4 gånger (eftersom α=3/4 och vi begränsar oss till enhetskvadraten). När systemet genomlöpt dessa banor börjar det om från början igen, eftersom man då är tillbaka i startpunkten. Fortsättningsvis kommer grafen att följa den graf som redan ritats upp. Dvs hur lång tid datorn än får stå och tugga så kommer figuren att se ut som ovan. Varv efter varv (fast linjerna kanske blir allt tjockare när kuspetskulan gått samma väg 1000 gånger på papperet). Detta gäller så länge som α är ett rationellt tal (dvs kan skrivas som kvoten mellan två heltal, som 3/4).

Men om α är ett irrationellt tal (dvs inte kan skrivas som kvoten mellan två heltal), som roten av 2 eller π (pi), så kommer vi aldrig tillbaka till startpunkten, utan grafen kommer så småningom att täcka hela enhetskvadraten så att hela området bli "svart". Detta innebär att grafen kommer att komma infinitesimalt nära varje punkt i enhetskvadraten om systemet får stå och tugga tillräckligt länge. Grafen kommer helt enkelt att fylla upp hela enhetskvadraten. I högra figuren ovan har α (alfa) ändrats från 3/4 till π (pi), vilket som sagt är ett irrationellt tal. Jag lät min CE-150 stå och tugga en stund (för 50 år sedan) och vi ser resultetet. Hade den fått fortsätta i några timmar till så hade vi haft en svart kvadrat (men jag ville inte slösa mer skrivarbläck, eftersom det var ganska dyrt).

I huvudartikeln studerade vi ett enkelt exempel med en vikt som åker upp och ned hängande i en spiralfjäder, och visade där både rörelsen i verkliga rummet (upp och ned) och systemets rörelse i fasrummet, där det rörde sig i en ellipsformad bana moturs. System som beskrivs i fasrummet kommer att följa kurvor, dvs röra sig på olika sätt, beroende på systemet.

Antag nu att figurerna ovan visar systempunktens rörelse i fasrummet för ett mekaniskt eller annat system (vi har ju kallat koordinaterna för q och p, vilket antyder att det handlar om koordinater i fasrummet — se huvudartikeln). Fasrummet är i princip oändligt och ett givet system kan inte fylla upp hela fasrummet. Eftersom ett mekaniskt system befinner sig i ett energi- och hastighetsintervall så kan det bara finnas i den del av fasrummet som hör ihop med denna energi och hastighet. Hittills har vi tillämpat principle of least action och fasrum och liknande på enkla system bestående av en enda partikel eller kropp. Vi skall nu försöka fördjupa vår förståelse och kommer att se att principle of least action är som ett isberg. Det finns mycket mer under vattnet än vad den synliga delen av isberget ger sken av.

Det visar sig att Lagrange- och Hamiltonformalismerna också lämpar sig för att studera mångpartikelsystem, som t ex en gasmassa (där vi har storleksordningen 10²³ partiklar och därmed 6 gånger så många dimensioner i fasrummet). Här kan man verkligen tala om ett mångdimensionellt rum. Men, som vi påpekat tidigare, så representeras även ett sådant system av en enda punkt som rör sig i fasrummet (om vi använder Hamiltonformalismen, vilken är lämpligast i detta fall). En gasmassa kan endast beskrivas statistiskt, och systempunkten kommer därför att röra sig i komplexa banor i fasrummet. Sådana system beter sig som i den högra figuren ovan. Deras världslinje fyller upp en hel yta i fasrummet om systemet existerar under en längre tid. Denna yta, som täcks av systemets världslinje, vilken så småningom kommer oändligt nära varje punkt i ytan, har en begränsad area. Detta eftersom systemets energi etc är begränsad och systempunkten måste hålla sig inom dessa gränser. Denna typ av system kallas ergodiskt och är av stort intresse och studeras inom många olika vetenskapliga discipliner. Och behöver inte ha någonting med principel of least action att göra.

Ergodisk teori och principen om minsta verkan (principle of least action) är relaterade genom deras gemensamma fokus på att beskriva systemens beteende på ett fundamentalt sätt. Dessa två ansatser kan sammanfattas i:

Principle of least action: Denna princip, som formulerades av Maupertuis och sedan vidareutvecklades av Lagrange och Hamilton, säger att ett fysiskt system alltid följer den väg i konfigurations- eller fasrummet som minimerar action (se huvudartikeln). Detta utgör ett viktigt fundament inom klassisk mekanik och har använts för att härleda många av den klassiska mekanikens lagar. Och även använts inom andra grenar av fysik (kvantmekanik, allmän relativitetsteori, termodynamik etc).
Ergodisk teori: Denna fokuserar på att beskriva beteendet hos dynamiska system över långa tidsperioder. En ergodisk teori säger att ett system, över tillräckligt lång tid, kommer att besöka alla tillgängliga tillstånd i fasrummet med en sannolikhet som är proportionell mot tillståndets volym (enligt ovan).

Relationen mellan dessa två är att principen om minsta verkan kan användas för att härleda rörelseekvationerna för ett system, medan ergodisk teori sedan kan användas för att beskriva systemets långsiktiga beteende.

Ett exempel på detta är Boltzmanns arbete inom termodynamik (statistisk mekanik), där han använde principen om minsta verkan för att härleda rörelseekvationerna för gasmolekyler, och sedan använde ergodisk teori för att visa att systemet långsiktigt uppvisar termodynamiskt beteende.

Med hjälp av ergodisk teori kan man nämligen visa att tidsmedelvärdet av en fysikalisk storhet (t ex hastighet) längs en enda bana i fasrummet (se figur I i huvudartikeln) är lika med medelvärdet över hela fasrummet (dvs medelvärdet för hela skaran av existerande, möjliga banor). Detta bevisar att statistisk mekanik kan förutsäga beteendet hos komplexa system utan att följa individuella banor. Vilket visar att statistisk mekanik beskriver komplexa system på ett meningsfullt sätt.

Termodynamiska system består av myriarder partiklar (atomer, molekyler etc), vilka rör sig på olika sätt (förflyttar sig, vibrerar och roterar). Det finns två perspektiv man kan anlägga på ett makroskopiskt objekt (gas, fast objekt, vätska etc). Dels ett mekaniskt, utifrån Newtons rörelselagar. Eftersom ett sådant system innehåller storleksordningen 10²³ partiklar (Avogadros tal) blir sådana problem omöjliga att lösa genom att tillämpa Newtons rörelselagar på varje enskild atomär partikel, även om det i princip vore möjligt. Ett sådant perspektiv vore dessutom ointressant eftersom det inte skulle ge oss någon användbar information om systemet. Att känna till enskilda atomers rörelser hjälper oss sällan i praktiska situationer.

Man kan också anlägga ett statistiskt perspektiv på systemet, där man i stället för enskilda partiklars hastigheter, energier etc betraktar medelvärden av dessa storheter och sedan utifrån dessa medelvärden definierar makroskopiska storheter. Så är t ex medelvärdet av en kropps eller gasmassas atomära energier ett direkt mått på temperaturen. Trycket likaså. Eftersom värme och tryck helt enkelt orsakas av atomär och molekylär rörelse. De mest använda lagarna vid studiet av gaser utgörs av dessa gasers temperatur, tryck och volym, dvs statistiska storheter. Fysiken har haft svårt att förena dessa två perspektiv. Innan vi kände till att värme och tryck är konsekvenser av atomära rörelser hade vi definierat begrepp som temperatur och tryck och kände till olika samband mellan dessa storheter. Sedan upptäckte vi att det fanns en djupare nivå bakom dessa begrepp. Den atomära. Den molekylära rörelsen kan tyckas vara mer grundläggande medan de makroskopiska, statistiska storheterna bara är konsekvenser av atomernas beteende.

Ergodisk teori ger oss ett rigoröst matematiskt ramverk för att förstå det långsiktiga, statistiska beteendet hos komplexa dynamiska system. Genom ergodisk teori kan vi överbrygga gapet mellan mikroskopisk, deterministisk rörelse och makroskopiskt, statistiskt beteende. Vi kan också förstå varför kaotiska system kan vara strukturellt stabila (trots att de är kaotiska), vilket innebär att deras beteende vid små störningar återgår till tillståndet innan störningen. Och många andra saker.

Olika "flöden" i fasrummet, vilka visar tre olika systems tidsutveckling. De skuggade områdena är den yta i fasrummet som upptas av ett systems världslinje. De svarta områdena anger respektive systems startpunkt.

A i figuren visar icke-ergodiskt flöde, eftersom det område som representerar systemet rör sig runt i en cirkelformad bana och hela tiden återkommer till startpunkten. B visar ett exempel på ergodiskt flöde utan blandning. Här rör sig området i en spiral utåt och återkommer aldrig till startpunkten. C, slutligen, visar blandat flöde som förändrar formen på ytan och blir alltmer slumpartat. När vi går från A till C blir flödet i fasrummet således mer och mer oförutsägbart och avlägsnar sig från determinisim och går mot stokastiska processer (slumpprocesser). Observera att alla tre flödena startar med samma yta (en slags fyrhörning). Observera att de olika skuggade områdena (fyrkantiga eller tentakelliknande) är samma yta men som rört sig och eventuellt deformerats i fasrummet. Dvs samma system men vid olika tidpunkter.

Det finns något som kallas ergodisk hierarki, vilket är en viktig del av ergodisk teori. Det handlar om en hierarki av egenskaper som dynamiska system kan ha. De tre figurerna ovan visar tre sådana hierariska nivåer.

Ergodicitet kan studeras oberoende av principle of least action och är viktigt inom många områden av mänskligt kunskapssökande; fysik, matematik, ekonomi, biologi och datavetenskap. Ergodisk teori existerar oberoende av principle of least action och används inom många områden som inte har någon direkt koppling till fysik och utgör ett matematiskt område som står på egna ben. Och som blivit en viktig disciplin inom matematiken och massor av forskare har vigt sina liv åt detta område. Den läsare som vill veta mer hänvisas som vanligt till att googla eller fråga AI eller doktorera i fysik eller matematik.

Tillbaka till artikeln "Fysik för fotgängare"
Tillbaka till huvudartikeln om principle of least action