"Godhet utan vishet och utan
gränser är bara en annan
form av ondska."
(John Paterson)

"Det är synd att 99% av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
(Okänd)

"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
(Artur Lundkvist)

"När försiktigheten finns överallt,
finns modet ingenstans."
(den belgiske kardinalen Mercier)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(Hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

Senast ändrad: 2024 04 28 14:10

Ett bevis för att √2 är ett irrationellt tal

Obs! Alla tal i föreliggande text är heltal.

 

Vi skall nu bevisa att √2 är ett irrationellt tal, dvs inte kan skrivas som a/b, där a och b är hela tal.

Innan vi går in på själva beviset skall vi först bevisa en hjälpsats:

Hjälpsats.
Antag att heltalet a är jämnt. Det kan då skrivas som a=2n (där n är ett heltal). Kvadrerar vi a får vi a2=4n2, dvs kvadraten av a kommer också att vara jämn, eftersom den innehåller 4 som faktor. Kvadraten av ett jämnt heltal är således alltid ett jämnt heltal.
Antag i stället att a är ett udda heltal. Då gäller att a kan skrivas som a=2n+1 (adderar man 1 till ett jämnt heltal blir resultatet ett udda heltal). Kvadraten av a blir då a2=(2n+1)2=4n2+4n+1 (enligt första kvaderingsregeln — årskurs 8). Summan av de två första termerna (dvs 4n2+4n) är ett jämnt heltal (eftersom båda termerna innehåller faktorn 4). a2 måste således vara ett udda tal (eftersom vi har ett jämnt heltal plus talet 1). Kvadraten av ett udda heltal är således alltid ett udda heltal.
Av ovanstående följer också motsatsen, dvs om en kvadrat av ett heltal är ett jämnt heltal, så är talet självt ett jämnt heltal. Och om kvadraten är udda, så är talet självt udda.
Kvadratroten av talet a definieras som det tal som gånger sig självt blir a. Dvs om kvadratroten av a är lika med b, gäller att b2=a (t ex så är kvadratroten av 16 lika med 4 och kvadratroten av 100 lika med 10 — 4⋅4=16 och 10⋅10=100). Kvadratroten kan givetvis tas av vilket reellt tal som helst men i föreliggande artikel är vi bara intresserade av kvadratrötter och kvadrater av heltal. Kvadraten av ett heltal är alltid ett heltal (av uppenbara skäl). Kvadratroten av heltal är i allmänhet inte inte ett heltal [som kvadradroten av 2 som är lika med 1,41421... (oändligt många siffror)]. Heltal som är kvadrater av heltal (dvs vars kvadratrot är ett heltal) kallas ibland för jämna kvadrater — ej att förväxla med jämna tal (25 är en jämn kvadrat, eftersom kvadratroten av 25 är lika med heltalet 5, men 25 är samtidigt ett udda tal). Nedan skall vi visa att kvadratroten av 2 är ett irrationellt tal.

Låt oss börja med att anta motsatsen till det vi vill bevisa, dvs vi antar att √2 är ett rationellt tal. Då gäller att √2 = a/b, där a och b är heltal. Vi antar vidare att vi förkortat så att a och b saknar gemensamma faktorer, dvs inte går att förkorta ytterligare.

Vi kvadrerar nu uttrycket och får, eftersom (√2)2 = 2 att 2 = a2/b2,

        dvs a2 = 2b2     (1)

Samband (1) visar att a är ett jämnt heltal (kvadraten av a är ju ett jämnt heltal och därmed måste a vara jämnt heltal — enligt hjälpsatsen). Men om a är jämnt måste b vara ett udda heltal (om b vore jämnt, skulle ju b innehålla faktorn 2, dvs a och b skulle ha den gemensamma faktorn 2, vilket strider mot antagandet att a och b saknar gemensamma faktorer).

Eftersom a är jämnt kan a skrivas som a = 2e, där e är ett heltal. Sätt in detta i (1) så får vi (eftersom a2 = 4e2):

        4e2 = 2b2

Som synes kan sambandet nu förkortas med 2 varvid vi får:

        2e2 = b2       dvs       b2 = 2e2

Eftersom kvadraten av b innehåller faktorn 2 (dvs är ett jämnt tal), måste b själv vara ett jämnt heltal (enligt hjälpsatsen).

Vi har således bevisat (utifrån antagandet att √2 är ett rationellt tal, dvs √2 = a/b, där heltalen a och b saknar gemensamma faktorer) att talet b är både udda och jämnt.

För att summera: Vi antar att √2 är ett rationellt tal samt att detta tals täljare och nämnare (a och b ovan) förkortats så långt det går. Det senare är alltid möjligt att göra. Dessa två antaganden leder, enligt ovan, till att b både måste vara ett udda och ett jämnt heltal. Vårt antagande leder med andra ord till en motsägelse (b är samtidigt båda udda och jämnt, vilket är omöjligt). Och ett antagande som leder till en motsägelse, måste vara felaktigt, eftersom logiken, på mycket goda grunder, utesluter existensen av motsägelser (läs mer om detta här). √2 kan därmed inte vara ett rationellt tal, utan måste vara ett irrationellt tal.

Q.E.D.
("Quod erat demonstrandum", som betyder "Vilket skulle bevisas")

Ovanstående bevismetod kallas reductio ad absurdum, dvs bevis genom motsägelse. Den bygger på att man antar motsatsen till det man vill bevisa och sedan med hjälp av logik bevisar att detta antagande leder till absurda, dvs uppenbart felaktiga slutsatser (t ex en motsägelse). Alltså måste antagandet vara felaktigt (eftersom det med logisk nödvändighet leder till en slutsats som omöjligen kan vara sann).

Om bara två alterntiv existerar, måste det andra alternativet (dvs motsatsen till det man antagit) vara sant, precis om ovan, där det bara finns två möjligheter; antingen är √2 ett rationellt tal eller också är √2 inte ett rationellt tal (dvs är irrationellt).

 

Tillbaka till huvudartikeln: "Lite mer om de matematiska konstanterna"

© Krister Renard