"Godhet utan vishet och utan
gränser är bara en annan
form av ondska."
 (John Paterson)

"Det är synd att 99% av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
 (Okänd)

"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
 (Artur Lundkvist)

"När försiktigheten finns överallt,
finns modet ingenstans."
(den belgiske kardinalen Mercier)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
 (Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
 (Hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
 (Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
 (Okänd)

Senast ändrad: 2024 09 22 14:25

Matematisk logik och matematikhistoria

 

I den mån matematiken är absolut sann så säger den inget om verkligheten och i den mån den säger något om verkligheten vet vi inte om den är absolut sann.
               Albert Einstein

 

Matematikens grunder, David Hilbert och Eukildes axiomsystem och lite matematikhistoria

I vissa typsnitt ser den grekiska bokstaven pi (π) ut ungefär som ett "n" (bokstaven n som i november), så jag ber läsaren att vara uppmärksam på detta (olika webbläsare har ju olika typsnitt som standard). Personligen, om jag designade typsnitt, så skulle jag göra så att pi och n var tydligt olika (och generellt så att det var lätt att se skillnad mellan de olika tecknen). Tyvärr, i datorvärlden och många andra sammanhang, så har snygg och häftig och moderiktig design blivit viktigare än funktionalitet. Nedan använder jag för tydlighetens skull omväxlande "pi" och "π".

(Note: at the top of the page you can choose translation of this article to other languages, but don't expect the translation to be perfect — "Välj språk" means "Choose language")

Elementa består av 13 band och sammanställdes av den grekiske matematikern Euklides som levde på 300-talet f Kr. Verket omfattar all matematik som var känd av grekerna vid tiden för publicerandet och har blivit en symbol och modell för logisk stringens.

Euklides Elementa har haft en avgörande betydelse för matematiken. Euklides sätt att formalisera geometrin genom definitioner och axiom och logisk inferens (slutledning) har blivit en norm inom matematiken och även den teoretiska fysiken. När Isaac Newton 1687 publicerade sitt epokgörande arbete i matematik/fysik, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (kortfattat kallat Principia), försökte han så gott det gick att följa Elementas upplägg. När Bertrand Russel och Alfred N Whitehead 1910-1913 publicerade sitt stora verk i tre volymer om matematikens grunder, valde de titeln Principia Mathematica, anspelande på att även de hade Elementa som riktmärke.

Om A implicerar B gäller att om vi vet att A är sann så vet vi att B är sann. Om A är falsk vet vi ingenting om B, dvs B är antingen sann eller falsk. Kortfattat brukar detta skrivas "om A så B" (vilket med logisk/boolesk algebra skrivs A⇒B). Det finns en annan logisk relation, ekvivalens, som innebär implikation i båda riktningarna, vilket innebär att om A är sann så är B sann och om A är falsk är B falsk (A ekvivalent med B skrivs i logisk algebra A⇔B). Ekvivalens är således lika med dubbelriktad implikation.

Ett enkelt exempel: Antag att A är lika med påståendet "det regnar på en viss plats" och B är lika med "det är molnigt på samma plats". Här gäller att A implicerar B, eftersom om det regnar (A är sann) på en viss plats så vet vi att det är molnigt på denna plats (B är sann). Om det däremot inte regnar på en viss plats (dvs A är falsk) vet vi inte vad som gäller för B. Det kan både vara molnigt eller inte molnigt på denna plats, dvs B kan vara sann eller falsk, vilket är liktydigt med att vi inte vet något om B (varje påstående är ju antingen sant eller falskt).

Inom den formella matematiken bevisar man inte satser utan man bevisar logiskt att axiomen implicerar dessa satser.

En högstadie- eller gymnasielärare kanske säger i slutet av en lektion, "Nu har vi bevisat Pythagoras sats". Vad han menar (eller i varje fall borde mena) är, "Nu har vi bevisat att Euklides axiom implicerar Pythagoras sats", dvs att Pythagoras sats är en logisk konsekvens av Euklides axiom. Man kan således inte bevisa att Pythagoras sats gäller/är sann. Det enda man kan bevisa är att axiomen implicerar Pythagoras sats. Dvs om axiomen (A) är sanna så är Pythagoras sats (P) sann (om A så P). Om axiomen inte är sanna så vet vi inget om P:s sanningsvärde. Euklides formella system handlar primärt inte om den fysiska verkligheten utan utgör ett formellt system, en lek med symboler och operationer mellan dessa symboler (se det inledande Einsteincitatet ovan). Axiomen är obevisbara men motiveras dels utifrån att det de säger verkar självklart och uppenbart utifrån vår intuition (se nedan) och dels för att deras implikationer (geometrins satser) beskriver verkligheten korrekt. Det senare innebär att man "bevisar" eller "motiverar" axiomen genom induktion. Så även den hyllade slutledningsmetoden deduktion har sin svagbegåvade och mindre karismatiska kusin induktion i bakgrunden.

Våra s k objektiva kunskaper om verkligheten utgår från antingen induktion eller deduktion. Vid induktiv bevisföring utgår man från ett stort antal observationer, ur vilka man sedan försöker dra generella slutsatser (man försöker hitta mönster i observationerna). Man går således från det speciella (de enskilda observationerna) till det generella (en allmän slutsats utifån dessa observationer). Detta är den vanligaste arbetsmetoden inom observationella och experimentella naturvetenskaper.
Deduktion å andra sidan innebär att man utgår från vissa premisser (obevisbara antaganden — inom matematiken och fysiken kallade axiom respektive postulat), och sedan genom logisk slutledning försöker bevisa olika lagar och satser. Här går man i stället från det generella till det speciella. Man antar nämligen att det allmänna bevis man genomfört gäller (kan tillämpas på) varje enskilt fall. Den deduktiva metoden är den normala inom matematik och teoretisk fysik.

Någon kanske invänder att axiomen i Euklides geometri är så enkla och självklara att de helt enkelt måste vara sanna. "Alla normala människor vet att det är så!", tänker man. Och självklart väljer man sina axiom så att de framstår som invändningsfria, men icke desto mindre så går de inte att bevisa i formell mening. Gränsen mellan axiom och satser är för övrigt flytande. Jag har två böcker i abstrakt algebra i min bokhylla. Där anger man bl a de axiom som utgör grunden för gruppteorin (se nästa stycke), men de två böckerna har inte samma axiomuppsättning. Ett av axiomen i den ena boken är i den andra boken en sats som bevisas utifrån axiomen och tvärtom.

Vilket för oss in på matematikens användbarhet. Trots att (den rena) matematikens olika teorier utgör abstrakta, formella system och inte har några direkta kopplingar till verkligheten (mer än att geometrins axiom är avsedda att avspegla enkla egenskaper hos verkligheten) tyckes den ha en förbluffande förmåga att kunna beskriva och förutsäga verkligheten. Galois gruppteori (en abstrakt algebra), som formulerades under första halvan av 1800-talet av den 19-årige fransmannen Evariste Galois (som kort därefter dog i en duell), användes av Murray Gell-Mann 1961 för att ordna upp de kända elementarpartiklarna (över 200 st vid den här tiden) i olika grupper (vilket han kallade "den åttafaldiga vägen"). Med hjälp av Galois teori (som inte har någon koppling till atomernas värld) kunde Gell-Mann förutsäga existensen av en dittills okänd partikel, Omega-minus (Ω-). Han kunde till och med utifrån gruppteorin förutsäga denna partikels egenskaper (massa, elektrisk laddning etc) och sedan, utifrån sin kunskap om Omega-minuspartikelns egenskaper, designa ett experiment för att framställa sådana partiklar. Experimentet genomfördes och partiklarna hittades och visade sig ha de förutsagda egenskaperna. En stor triumf för den teoretiska fysiken. Matematiken tillämpad på verkligheten verkar kunna ge oss kunskaper om sådant vi inte har stoppat in i våra teorier. Något som antyder att verkligheten är matematisk till själva sin natur, vilket starkt talar mot ett slumpgenererat universum.

Under sexton- och sjuttonhundratalen började matematiker granska grunderna för Euklides geometri. Denna hade, precis som Aristoteles naturvetenskapliga teorier, varit höjd över alla sådana granskningar och hade betraktats som helig och ofelbar, men nu ville man kritiskt undersöka denna formalism (det låg väl i tiden, kanske utifrån Upplysningsfilosofins anda). Galilei hade redan, genom skickligt genomförda experiment (både fysiska experiment och tankeexperiment) visat att Aristoteles teorier för rörelse var felaktiga. Och Kepler hade, genom upptäckten av sina tre lagar, detroniserat Aristoteles geocentriska modell för solsystemet. Kepler kom fram till sina lagar genom induktion, dvs genom att leta efter mönster i ett stort antal observationer av planeternas rörelser på himlasfären. Knappt 100 år senare kunde Isaac Newton, utifrån sina tre rörelselagar plus den av honom formulerade gravitationsteorin (se min artikel om klassisk fysik), härleda Keplers lagar (i detta fall handlade det om deduktion, där de tre rörelselagarna utgjorde postulaten/axiomen). Induktion och deduktion går således hand i hand inom fysiken (och många andra områden av naturvetenskap) och kompletterar varandra.

Euklides geometri utgår från 5 axiom (se huvudartikeln om Matematikens osannolika användbarhet), varav de 4 första utgör triviala, man kan nästan säga analytiska, påståenden (sådana påståenden innehåller ingen kunskap om verkligheten utan är sanna i kraft av de ord som ingår, t ex "en triangel har tre hörn"). Första axiomet lyder "Alla punktpar kan sammanbindas av en sträcka". Andra axiomet lyder, "Varje sträcka kan utsträckas obegränsat", dvs kan göras hur lång som helst. Axiom 3 och 4 är av ungefär samma typ. Den euklidiska geometrin utspelas i ett oftast två- eller tredimensionellt, linjärt, oändligt rum, som i princip är tomt (dvs inget hindrar mig att dra ut en rät linje hur långt som helst och inga "mellanväggar" hindrar mig att dra en sträcka mellan två punkter). Det dessa fyra axiom säger verkar självklart och det svårt att tro det skulle kunna vara på något annat sätt (givet att allt utspelar sig i ett euklidiskt rum).

Det femte axiomet, kallat parallellaxiomet (fortsättningsvis betecknat PA), är betydligt mer komplicerat än de fyra första och framstår därför som något mer än bara ett analytiskt påstående. Det lyder: "Genom en punkt C utanför en rät linje AB kan exakt en rät linje dras parallellt med AB.

Även om också detta axiom tycks självklart, upplevde många matematiker att det var av en annan och mer komplex natur än de fyra första och man började fundera över om det kanske var möjligt att bevisa det femte axiomet utifrån de fyra första. PA var i så fall inte ett axiom utan en bevisbar sats. Många matematiker var sysselsatta med detta under flera hundra år och bevis för PA dök upp lite då och då men kunde alla vederläggas.

Nu snabbspolar vi fram till 1800-talets senare hälft. Några matematiker (jag tror Gauss var tidigt ute) testade alternativa formuleringar av PA. En sådan formulering var att man genom C kunde dra oändligt många linjer parallellt med AB och en annan att man genom C inte kunde dra någon linje alls parallell med AB. Inget av dessa två alternativ stämmer med vår intuition eller med vad vi kan se framför oss, men genom att omformulera PA och sedan bygga upp en ny geometri (icke-euklidisk) utifrån Euklides fyra första axiom plus den nya versionen av PA, ville man se om denna alternativa geometri fungerade rent logiskt, dvs huruvida den gav upphov till motsägelser eller ej. Det visade sig att båda dessa geometrier (Riemann och Lobatjevskij som de kom att kallas) gav upphov till två fungerande geometrier utan uppenbara motsägelser. Dessa icke-euklidiska geometrier stämde visserligen inte med den geometri som tycks gälla på jorden men det är ointressant i sammanhanget (abstrakt matematik kan ses som en innehållslös lek med symboler och regler — ungefär som schack). Man hade hoppats att de två icke-euklidiska geometrierna skulle visa sig innehålla motsägelser, vilket i så fall skulle visa att endast Euklides version av PA var kompatibel med Euklides fyra första axiom (det skulle ju tala för att PA är en sats). Men nu blev det inte så, eftersom alla tre versionerna av PA är förenliga med de fyra första axiomen och skapar formellt fungerande geometrier. Det verkade därför som att PA verkligen var ett axiom och inte en sats, dvs en logisk konsekvens av de 4 första axiomen (i så fall skulle man ju kunna bevisa tre olika formuleringar av PA utifrån de 4 första axiomen vilket innebär en motsägelse, eftersom de tre versionerna säger emot varandra trots att de härleds från samma uppsättning axiom).

Även om den vanliga euklidiska geometrin gäller med stor precision på jorden och i dess närhet visar det sig att den inte gäller i närheten av objekt med extremt starka gravitationsfält. Där är inte pi exakt lika med 3,14159... och vinkelsumman i en triangel är inte längre 180°, och ju starkare gravitationen är desto mer avviker värdet på dessa storheter. Inom Allmänna relativitetsteorin används inte euklidisk geometri utan riemanngeometri. De icke-euklidiska geometrierna började således som en abstrakt metod för att undersöka Euklides axiomsystem men visade sig senare bli användbara inom olika områden och även i viss mening beskriva vårt universum. Idag vet vi att euklidisk geometri är ett specialfall som endast gäller (på ett ungefär) när gravitationen är väldigt svag (som på jorden).

Den berömde tyske matematikern David Hilbert lade ner mycket arbete på att klarlägga matematikens grunder och undersökte i samband med detta Euklides geometri mycket noggrant. Grunden för ett formellt system är att inget får vara fördolt. Allt vi arbetar med och de regler vi har måste antingen utgå från definitioner eller axiom eller bevis utifrån axiomen, dvs vi får inte omedvetet ta någonting för givet, hur självklart vi än tycker det är. För att frigöra sig från alla förutfattade meningar och omedvetna antaganden om geometrin översatte Hilbert geometrin till en innehållslös, formell algebra som var logiskt isomorf med geometrin. Symbolerna hade ingen tolkning annat än att de hade samma inbördes logiska kopplingar som motsvarande geometriska begrepp och objekt. Hilbert kom då fram till att Euklides fem axiom behövde kompletteras. Euklides hade således omedvetet förutsatt vissa saker utan att redovisa dem som axiom eller definitioner eller bevisa dem utifrån axiomen. Hilbert fick därför lägga till några axiom för att Euklides axiomuppsättning skulle bli fullständig. Ett av dem var "Om en linje skär en sida i en triangel måste den, förutsatt att den inte går genom ett hörn, skära ytterligare en sida i triangeln". Vilket ju en normal människa upplever som självklart. Men hur självklart något än är så får det inte användas i matematiken utan att redovisas explicit som ett axiom eller en definition eller som en bevisad sats. Euklides använde således de av Hilbert tillagda axiomen utan att vara medveten om detta och utan att redovisa det. Vilket bryter mot Euklides eget program.

 

Frågan om motsägelsefrihet — Gödels sats

Och nu tillbaka till huvudspåret. Hilbert och många andra matematiker vid den här tiden var också intresserade av huruvida geometrin och talteorin och andra formella matematiska teorier var motsägelsefria. Man hade aldrig formellt bevisat att geometrin etc var motsägelsefria utan dragit den slutsatsen utifrån att man dittills inte hade upptäckt några motsägelser plus att de stämde överens med verkligheten, som man utgår från saknar motsägelser (jag talar inte här om t ex mänskliga relationer eller om ofullkomliga modeller av verkligheten utan om verklighetens själva struktur — das Ding an sich).

En motsägelse innebär att det är möjligt att bevisa både ett påstående och dess negation utifrån axiomen (både A och icke-A). Ett formellt system som innehåller en enda motsägelse är oanvändbart, eftersom man kan bevisa att om det existerar en enda motsägelse i ett formellt system så blir allt sant inom detta system. Dvs man kan då utifrån axiomen bevisa vilket godtyckligt påstående som helst (som kan uttryckas inom det formella systemet). Vilket givetvis gör systemet ointressant (annat än möjligen för politiker och ideologer). Det är därför man utgår från att verklighetens innersta natur är motsägelsefri. Jag har två sådana bevis på min hemsida, ett i ord (detta bevis gjordes av de gamla grekerna) och ett med logisk (boolsk) algebra (klicka här för att ta del av dessa bevis).

Om geometrin innehåller en enda motsägelse vore det i så fall möjligt att utifrån geometrins axiom bevisa vilket geometriskt påstående som helst, även falska sådana (t ex att vinkelsumman i en triangel är lika med 27° eller 173° eller 180°, eller vilket värde som helst, eller att hypotenusan i en rätvinklig triangel alltid är lika med triangelns area gånger 17π). Motsvarande gäller för talteorin.

Ett bevis för att en matematisk/logisk formalism är motsägelsefri kan inte göras inom formalismen själv (i varje fall inte för komplicerade formella system som geometrin etc), menade Hilbert och hans kollegor, utan man måste gå till metamatematiken (där man studerar matematiken utifrån). Påståendet att det existerar oändligt många primtal är ett inommatematiskt påstående (eftersom det enkelt kan bevisas inom talteorin själv). Påståendet att geometrin eller talteorin är motsägelsefri är ett utommatematiskt/metamatematiskt påstående. Ovannämnda bevis för konsekvenserna av motsägelser inom formella system utgör ett exempel på metamatematik. Här står man utanför matematiken och betraktar den utifrån och uttalar sig om den från detta perspektiv (dvs från ett högre logiskt perspektiv). Antag nu att man metamatematiskt (metageometriskt) kan bevisa att geometrin är motsägelsefri. Problemet är att detta bevis endast gäller under förutsättning att metamatematiken är motsägelsefri. Och för att undersöka metamatematikens motsägelsefrihet måste vi gå till metametamatematiken. Vilket innebär att vi nu måste bevisa att den senare är motsägelsefri och får då gå till nästa nivå, metametametamatematiken osv. Dvs vi hamnar i en oändlig regression, vilket inte är någon framkomlig väg.

In på scenen träder nu Kurt Gödel — 1900-talets, och kanske alla tiders mest lysande matematiske logiker (och dessutom djupt troende kristen). Under 1920-talet arbetade Hilbert på sitt formella program (hans studier av Euklides geometri och frågan om matematikens motsägelsefrihet utgjorde en del av detta arbete). Under mitten av 1920-talet (tror jag) höll Hilbert ett berömt föredrag om sitt formella program i Königsberg (nuvarande Kaliningrad), som varit ett kulturellt och vetenskapligt centrum under flera hundra år. Vad Hilbert inte visste, när han full av tillförsikt och entusiasm, höll sitt föredrag, var att den 20-årige Kurt Gödel samtidigt satt vid sitt skrivbord och arbetade på ett teorem som allvarligt skulle ifrågasätta Hilberts projekt. Ja i viss mening slå undan benen på Hilberts formalistiska program. Gödel hade för övrigt blivit intresserad av matematikens motsägelsefrihet efter att ha hört ett annat, tidigare föredrag av Hilbert.

Hilbert sade en gång, i formalismens anda, "I matematiken finns inget som är omöjligt att veta". Enligt formalismen har människan skapat matematiken och därför finns inga jokrar eller okändheter i denna. Kurt Gödel visade, som vi strax skall se, att detta inte var korrekt.

Gödel valde att koncentrera sig på talteorin som handlar om de hela talen och deras egenskaper. Han insåg givetvis omedelbart problemet med att bevisa matematikens motsägelsefrihet med hjälp av metamatematik. För att undvika oändlig regression var hans ansats att översätta påståenden om talteorin (dvs metamatematiska påståenden) till heltal (vilka utgör en del av talteorin). Detta kallas gödelnumrering. Sedan kunde man använda talteorin för att studera dessa heltals relationer och egenskaper. På så sätt skulle man kunna få talteorin att uttala sig om sig själv. Varje atomär del av ett metamatematiskt påstående tilldelades ett primtal och ett helt påstående blev då ett heltal som var lika med produkten av de ingående primtalen. Och eftersom varje heltal har en unik faktorisering i primtal kunde man således gå åt andra hållet och återskapa de atomära delarna av påståendet (typ 730216=2⋅2⋅2⋅97⋅941). I praktiken är det betydligt mer komplicerat än så och Gödels ansats utgör enligt min mening en av de största intellektuella bedrifterna i matematikens historia. Genom gödelnumreringen fick Gödel talteorin att uttala sig om sig själv (kanske en matematisk motsvarighet till självmedvetande). Jag har inte satt mig in i detaljerna i Gödels bevis (även om jag har en tjock tegelsten i bokhyllan i ämnet), eftersom detta antagligen skulle tagit mig ett eller ett par år på heltid, tid som jag aldrig haft eller varit beredd att lägga ned. Gödel kom fram till följande slutsatser:

1. Inom varje matematisk teori (formellt system), som är minst lika komplicerat som talteorin (kallat ett gödelskt system), så finns ett oändligt antal välformulerade (dvs som uppfyller teorins syntax etc) påståenden, där vi inte med hjälp av teorin själv (dvs genom logisk härledning utifrån axiomen/postulaten genom ett ändligt antal bevissteg) kan avgöra om dessa påståenden är sanna eller falska. Sådana påståenden kallade Gödel för oavgörbara (unentscheidbare). Och formella system för vilka detta gäller kallade han inkompletta system.
2. Om det är möjligt att inom en matematisk teori, som utgör ett gödelskt system, bevisa att denna teori är motsägelsefri, medför detta att teorin innehåller motsägelser.

1. och 2. kallas med ett sammanfattande namn Gödel's incompleteness theorems. I själva verket publicerade Gödel först 1. separat och sedan två år senare publicerade han 2.

Förutom talteorin så utgör euklidisk geometri, de icke-euklidiska geometrierna och predikatlogiken av andra ordningen exempel på formella system för vilka Gödels sats gäller (sådana system kallas därför gödelska system).

I sin doktorsavhandling bevisade Gödel f ö att predikatlogiken av första ordningen är komplett. Detta innebär att alla påståenden som är sanna (dvs som håller i logikens alla tillämpningar) kan härledas inom denna logik utifrån axiomen. Formella system, där detta inte gäller (punkt 1. ovan) säges vara inkompletta system.

Enligt 1 existerar inom geometrin och talteorin etc ett oändligt antal välformulerade påståenden som utifrån axiomen varken kan visas vara sanna eller falska. Man kan också vända på det och säga att det inom talteorin etc "kan finnas" påståenden som är sanna men som inte kan bevisas vara sanna utifrån axiomen (obs "kan finnas" — enligt min mening vet vi inte om det verkligen existerar sådana påståenden även om det finns en del tänkbara kandidater).

En sådan skulle kunna vara det som kallas Goldbachs antagande från 1742. Enligt detta så kan varje jämnt tal större är 4 uttryckas som summan av två primtal (6=3+3, 16=5+11, 88=41+47 etc). Man har hittills inte hittat något jämnt tal för vilket Goldbachs antagande inte gäller, trots att man låtit datorer tugga sig igenom alla jämna tal upp till enormt stora tal (kanske 20-siffriga). Trots ihärdiga försök av de flesta ledande matematiker under hundratals år, har man misslyckats med att bevisa Goldbachs antagande. Vilket framstår som förvånande. Intuitivt tycker man att det inte borde vara så svårt. Ingenting utesluter givetvis att någon en vacker dag hittar ett bevis för Goldbachs antagande. Men det skulle också kunna vara så att detta antagande utgör ett gödelskt påstående, som helt enkelt inte kan bevisas utifrån talteorins axiom genom ett ändligt antal bevissteg (även om det är sant).

Orsaken till 1. är att talteorin (och andra gödelska system) har ett så rikt "språk" att man inom en sådan teori kan formulera meningar/påståenden som innehåller mer information än teorins axiom. Därför kan de tillåtna slutledningsreglerna inte avgöra om dessa påståenden är sanna eller falska. Gödel själv uttryckte det på följande sätt:

...there are mathematical problems that can be expressed in Principia Mathematica, which cannot be solved by the logical means of Principia Mathematica.
(...det finns matematiska problem som kan uttryckas i Principia Mathematica, vilka inte kan lösas med hjälp av Principia Mathematicas logiska verktyg).

Man kan bevisa att ingen sats i ett formellt system kan innehålla mer information (enligt Shannons definition) än axiomen (jag har ett sådant bevis på min hemsida). Vilket innebär att all information i ett formellt system redan finns i axiomen (implicit). I varje fall kvantitativt. Dvs logik kan per se inte skapa ny information. Jag talar här om information definierad enligt Shannon. Informationsbegreppet är i själva verket mycket komplext och jag hänvisar läsaren till min avdelning om livets uppkomst, där jag har en del artiklar i ämnet (rubrikerna ger vägledning).

Astrofysikern John Barrow uttrycker det på följande sätt:

Ingen av de möjliga slutsatser, som genom de tillåtna slutledningsreglerna kan dras utifrån talteorins axiom, kan innehålla mer information är vad axiomen själva innehåller. ...Talteorins axiom innehåller mindre information än vissa talteoretiska påståenden, varför de tillåtna slutledningsreglerna inte kan avgöra om dessa påståenden är sanna eller falska.

Alla geometrins satser finns således redan i geometrins axiom och motsvarande för talteorin, men i för oss dold form. En superintelligens kanske inte skulle behöva bevisa geometrins satser, eftersom denne omedelbart utifrån axiomen skulle se alla satserna framför sig.

Enligt 2 får vi fortsätta att leva i osäkerhet gällande talteorins och geometrins motsägelsefullhet.

För enklare formella system, t ex en geometri som endast utgår från Euklides fyra första axiom (och som därför är mindre kraftfullt än Euklides geometri) är det möjligt att inom systemet självt bevisa att systemet är motsägelsefritt. Priset vi får betala är att systemet blir väldigt begränsat. Samma sak gäller också naturvetenskapen, där man köper sig säkra utsagor genom att utesluta allt som kan skapa osäkerhet. Enligt principen att vetenskapens begränsning är dess styrka.

Parallellexiomet kan utifrån Gödels perspektiv, trivialt, betraktas som ett oavgörbart geometriskt påstående (som varken kan bevisas vara sant eller falskt utifrån de fyra första axiomen).

Gödels resultat i punkt 2 visar att vi aldrig med säkerhet kan avgöra om ett formellt system, som är lika komplext som talteorin, är motsägelsefritt. Detta skakade givetvis om Hilbert både personligt och hans formella program. Även om geometrin och talteorin erfarenhetsmässigt fungerar utmärkt kan vi aldrig veta med absolut säkerhet att dessa teorier alltid gör det. Jag hade en god vän som var matematikprofessor i USA och samtidigt anglikansk präst (matematiker på vardagarna och sjukhuspräst på helgerna). Han var algebraiker (expert på semigrupper — en vacker teori som man hittills inte lyckats hitta någon användning för). Han brukade säga, apropå Gödel, att varje gång man handlar på Starbucks och det kostar 6 dollar och man lämnar 10 dollar och får tillbaka 4 dollar så är detta ett steg i tro (eftersom vi inte kan bevisa att talteorin är motsägelsefri vet vi inte med 100% säkerhet att 10 minus 6 alltid är lika med 4). Även om Hilberts formalism lever kvar är den tilltufsad och lite snöpt tack vare Gödel.

Det är därför Einstein, i det inledande citatet, skriver "i den mån matematiken är absolut sann...".

Alla matematiker, såvitt jag vet, är överens om att Gödels bevis är logiskt korrekt. Däremot råder delade meningar när det gäller innebörden och konsekvenserna av Gödels sats. Ofta läser man att Gödel bevisade att det inom gödelska system finns (eventuellt oändligt) många sanna påståenden som inte kan bevisas utifrån axiomen. Här finns olika åsikter. Jag kan själv inte se att detta är en tvingande slutsats av Gödels sats. Det kan vara så (Gödels sats utesluter inte detta) men måste inte vara så.

Utifrån ovanstående drar vi slutsatsen att om man hittar en enda motsägelse inom talteorin eller geometrin faller denna teori, eftersom den blir oanvändbar. Man kan således "falsifiera" talteorin och geometrin (genom att hitta en enda motsägelse). Däremot kan man inte, som framkommit ovan, bevisa att talteorin eller geometrin är motsägelsefri, dvs vi kan inte bevisa att dessa teorier är absolut "sanna". Vilket påminner oss om Poppers falsifikationskriterium för naturvetenskap, enligt vilket det är omöjligt att verifiera exempelvis en fysikalisk teori (eftersom detta skulle kräva oändligt många observationer) medan man kan falsifiera en teori, eftersom detta bara kräver en enda observation (som inte stämmer med teorin — förutsättningen är förstås att observationen är korrekt gjord).

När Gödel 1930 presenterade sina incompleteness theorems var Hilbert och den briljante ungerske matematikern och fysiken John von Neumann (ofta kallad Einsteins jämlike) närvarande. Man kan ju föreställa sig hur Hilbert måste ha upplevt detta. Det måste ha känts ungefär som att få en cancerdiagnos.

 

Brouwer och intuitionismen

Samtidig med Hilbert var en holländsk matematiker L E J Brouwer. Denne var utan tvekan en skicklig matematiker och Hilbert hjälpte Brouwer att få en eftertraktad akademisk position. Brouwer hade inte höga tankar om Hilberts formalism men låg lågt tills han satt säkert i sadeln (ett råd som han fick av sin handledare när han arbetade med sin doktorsavhandling). Efter några år började Brouwer öppet kritisera Hilberts formalism och det skar sig mellan dessa två herrar (i viss mening har den akademiska världen stora likheter med en sandlåda full av 3-åringar i värsta trotsåldern). Brouwer företrädde en helt annan syn på matematiken, som kom att kallas intuitionism, vilken Wikipedia definierar på följande sätt:

Enligt intuitionismen är matematiken en mer grundläggande mental aktivitet än logiken, i motsats till vad logicismen hävdar. Enligt intuitionismen konstruerar vi talen ett, två, tre, fyra,... som mentala objekt, som mentala verktyg att räkna med. Först därefter börjar vi resonera om dessa objekt. Matematiken handlar alltså, enligt intuitionismen, om objekt som det skapande subjektet har i sitt medvetande. Det enda rimliga sanningskriteriet för "det existerar ett objekt sådant att..." måste då bli att det skapande subjektet kan konstruera, i sitt medvetande, ett objekt som uppfyller den aktuella egenskapen. Detta resulterar i en mycket annorlunda syn på när existens kan anses bevisad i matematiken: intuitionisten accepterar endast bevis som ger en metod för att konstruera objektet som påstås existera. Intuitionismen är på detta sätt en konstruktivistisk grund för matematiken.

Brouwer acceptade inte ett av den klassiska logikens viktigaste fundament, lagen om det uteslutna tredje (speciellt i samband med oändliga mängder). Enligt denna lag är ett påstående A antingen sant eller falskt ("A eller inte A" är sant). Detta leder till att många bevis inom matematiken blir ogiltiga och måste göras på helt annorlunda sätt. Oftast är de intuitionistiska bevisen mer komplicerade och vissa saker går inte att bevisa utifrån denna ansats. Dvs det som i den formalistiska matematiken i detta fall är en sats blir i den intuitionistiska matematiken ett obevisbart antagande.

När jag studerade matematik nämndes knappt Brouwer. Jag kan bara minnas en enda föreläsning där Brouwer togs upp. Han var tydligen ingen vidare diplomat så han stötte sig med människor och drog sig mer och mer tillbaka och slutade ensam och bitter. Inte så roligt (om det nu stämmer). Och dessvärre inget ovanligt öde för många män (och även en del kvinnor, men män tycks vara överrepresenterade här) när de åldras (rättshaverister, konspirationsteorier, griniga gubbar, paranoida vanföreställningar om att grannar bestrålar deras lägenhet med farliga strålar mm).

När det gäller formell matematik tycker jag Brouwers ansats är improduktiv. Inom matematiken kan man bestämma att endast syssla med utsagor som antingen är sanna eller falska (i matematiken finns ju inga jokrar, eftersom vi själva skapat den — enligt den formella skolan bestämmer vi själva vad den skall handla om, dess axiom och definitioner och regler). I fysiken är det inte så, eftersom det inte är vi som skapar den fysiska verkligheten. I kvantmekaniken har många utsagor ett stort antal möjliga svar, vars sannolikheter kan beräknas. Man har därför experimenterat med både flervärd (mer än två sanningsvärden) eller kontinuerlig logik, dvs sanning är inte 0 eller 1 utan ett tal inom det kontinuerliga intervallet 0 till 1 (där gränserna ingår). Detta för att bättre avspegla den verklighet som kvantmekaniken målar upp. Men man har återgått till tvåvärd logik som grund för kvantmekaniken, eftersom det visar sig, när man går på djupet, att den kontinuerliga logiken i alla fall är baserad på tvåvärd logik.

Jag för mig att Brouwer också förkastar induktionsbevis. Men här är jag inte helt säker så jag lämnar frågan öppen. F ö har jag en nyskriven artikel där jag behandlar induktionsbevis och även summor och serier.

Induktionsbevis underlättar väldigt och att bevisa vissa formler eller satser utan att få använda induktionsbevis kan vara väldigt besvärligt och ibland kanske t o m omöjligt. Samma sak gäller om man inte accepterar lagen om det uteslutna tredje. Samtidigt kan det givetvis också vara nyttigt att tvingas lösa problem på alternativa sätt och Browers ansats gav en hel del nya kunskaper inom matematiken. Men jag vill minnas att han kom fram till en del felaktiga resultat.

Bilden visar den träffbild man får på skärmen när en elektronstråle passerar genom en dubbelspalt (två vertikala, tunna slitsar i en stålplåt eller plastskiva med någon millimeter emellan. Träffbilden illustrerar både elektronens våg- och partikelnatur. Hade elektronerna enbart varit partiklar, hade vi haft två mörka band, mitt för de två slitsarna och sedan avtagande densitet av träffar när man avlägsnar sig från centrum (ungefär som om man skjuter tiotusentals skott med en kulspruta mot en pansarplåt med två slitsar, där slitsarna är tillräckligt stora för att släppa igenom kulorna). I stället får vi ljusa och mörka vertikala band med det starkaste bandet exakt i mitten och sedan avtagande träffdensitet när man avlägsnar sig från mitten. Varje punkt i bilden representerar träff av en elektron medan banden representerar elektronens vågnatur. Enligt Bohm visar banden pilotvågens intensitet på skärmen. Denna våg styr sedan de elektroner som passerar genom dubbelspalten. Dessa elektroner representeras av de svarta punkterna. Ortodox kvantmekanik och Bohms tolkning av kvantmekaniken ger samma resultat men förklarar resultatet på olika sätt.

Ett annat exempel på upprorsmakare inom vetenskapen hittar vi inom kvantmekaniken. När David Bohm hade läst alla kurser som fanns i kvantmekanik beklagade han sig inför sin professor över att han inte förstod kvantmekaniken. Professorns råd var att undervisa på kurser i kvantmekanik eller skriva en bok i ämnet. Bohm skrev därför en lärobok i kvantmekanik som anses utomordentlig i sin klarhet. Problemet, när nu Bohm äntligen förstod kvantmekaniken, var att han inte längre trodde på den. Han ägnade därför resten av sitt liv åt att formulera en alternativ teori. Bohm använde att Schrödingerekvationen har två typer av lösningar; en allmän lösning (en våg) och en partikulärlösning (som gäller för ett speciellt fall). Den allmänna lösningen ger, enligt Bohm, en atomär partikel dess vågnatur (här handlar det om sannolikhetsvågor, där sannolikheten att hitta partikeln i en viss punkt är proportionell mot vågfunktionens intensitet i denna punkt) medan partikulärlösningen, enligt Bohm, handlar om partikelns partikelnatur (att dessa två lösningar existerar är ett matematiskt faktum, men dessa lösningars innebörd kan man ha delade meningar om). När elektroner passerar genom en dubbelspalt och ger upphov till ett interferensmönster på en skärm, tolkas detta inom ordodox kvantmekanik som att varje elektron passerar genom båda spalterna (annars skulle man inte få ett interferensmönster på skärmen). Enligt Bohm är det endast sannolikhetsvågen som passerar genom båda spalterna och ger upphov till ett interferensmönster av sannolikheter på skärmen (detta mönster detekteras genom att man analyserar elektronernas träffbild på skärmen — se figuren ovan). De enskilda elektronerna passerar genom en av spalterna (och inte genom båda) men var de träffar skärmen beror således på sannolikhetsvågens intensitet där. Där intensiteten är som störst hittar vi flest elektronträffar på skärmen. Bohm kallade sannolikhetvågen för pilotvåg, eftersom den styrde elektronerna. Idén är egentligen inte Bohms egen utan kommer från Louis de Broglie, men Bohm utvecklade de Broglies tankar vidare.

Bohms modell är intuitivt mer tillfredsställande (tycker många och även jag) än den ortodoxa kvantmekanik men tillför inget nytt (det finns inga objektiva mätningar som kan diskriminera mellan de två modellerna) och har därför inte konkurrerat ut de etablerade perspektiven (pragmatism, Bohr etc). Men Bohm har tvingat kvantmekanikerna att tänka efter och tänka i andra banor och har på så sätt påverkat kvantmekaniken positivt.

Den amerikanske fysikern Lee Smolin skrev en gång;

Även den smartaste och mest välmenande vetenskapsman kan gå vilse utan den disciplin det innebär att behöva övertyga skeptiker".

Därför kan upproriska typer som Brouwer och Bohm berika sina ämnesområden genom att de tvingar mainstreamforskarna att tänka djupare och mer och bli ännu mer stringenta. I enstaka fall kan upprorsmakarna föra vetenskapen ett stort steg framåt (som Newton och Einstein). Men då krävs något utöver mer pedagogiska modeller (Bohm) eller djupa filosofiska analyser av grundläggande begrepp (Brouwer) — typ är en tvåa verkligen en tvåa eller är den en representant för något ännu djupare? Kanske är den något andligt eller mentalt?

 

Oändligheten tämjs

Något annat som matematikerna började undersöka på 1800-talet var oändligheter. Redan de gamla grekerna sysslade med detta begrepp men kom inte någon vart. Ett exempel är den välkända kapplöpningen mellan Akilles (A) och sköldpaddan (S). Man får där en geometrisk serie (med oändligt många termer). Om S startar 100 m framför A och A springer 10 gånger så fort som S, har S hunnit 10 meter när Akilles kommit fram till där S startade, dvs S ligger nu 10 m före. När A sprungit dessa 10 m har S hunnit 1 m. Osv. Zenon, som formulerade denna skenbara paradox, kunde inte förstå hur A någonsin kunde passera S (han visste ju att A gjorde det men kunde inte förstå det matematiskt, eftersom termerna aldrig tog slut — A kom närmare och närmare S för varje term men han passerade aldrig S). Här får man en serie (en summa med ett oändligt antal termer), 100+10+1+0,1+0,01.... Grekerna kunde inte förstå hur en summa av oändligt många tal kunde bli ett ändligt tal (som i detta fall är lika med sträckan A springer innan han kommer ikapp S). Summan av denna "oändliga" serie blir (se länken i slutet av detta stycke) 100/(1-0,1)=111,1111...m (i detta fall kan man lätt räkna ut summan utan att hänvisa till geometriska serier, eftersom 100+10+1+0,1+0,01...=111,11...). Detta kan uttryckas exakt som bråk (1000/9) men inte exakt som decimalbråk (eftersom man får oändligt många decimaler, ungefär som 1/3=0,33333...). Dvs A passerar S efter att A sprungit exakt 1000/9 meter (dvs drygt 111 m). Grekerna hade inte bara svårt med oändligheter, de brottades också med ett otympligt talsystem som gjorde även enkla numeriska räkningar svåra. (se min artikel om induktionsbevis och summor och serier).

När Newton (utifrån att den matematik som fanns inte räckte till för att formulera hans rörelselagar) och Leibniz (utifrån mer abstrakta bevekelsegrunder), oberoende av varandra, upptäckte/formulerade/skapade infinitesimalkalkylen (derivator och integraler och därmed differentialekvationer i vilka i stort sett hela fysiken uttrycks), konfronterades de med oändligt små intervall av förändringar (infinitesimala förändringar). De kunde inte uttrycka detta strikt matematiskt utan använde denna teknik rent praktiskt utan att till fullo förstå eller kunna formulera vad de gjorde. Men det fungerade, och Newton nöjde sig med detta (jag vet inte hur Leibniz såg på saken). Det var först på 1800-talet när Karl Weierstrass formulerade gränsvärdesbegreppet, som man fick en matematisk formalism som kunde handskas med infinitesimala storheter. Weierstrass var analytiker och gjorde inte några allmänna undersökningar av oändligheter. Det blev i stället Georg Cantor som kom att lägga grunden för dagens syn på oändligheter. Det är väldigt lätt att tankarna far iväg i meningslösa loopar när man tänker på oändligheter. Cantor insåg att man måste ta sin tankar till fånga (dvs ställa upp strikta regler för hur man skulle tänka) för att man skall kunna arbeta med oändligheter.

De hela talen utgör ett exempel på en oändlig mängd. Denna typ av mängd kallas uppräkningsbar, eftersom man kan räkna upp elementen på ett sådant sätt att när man kommit till ett visst element i uppräkningen så har man inte missat något element som enligt den använda uppräkningsregeln kommer före. När det gäller de hela talen är den enklaste uppräkningen att göra detta i storleksordning (1, 2, 3, 4,...). När man kommit till 37 vet man att man inte missat något heltal mindre än 37.

Cantor kom fram till att det finns exakt lika många jämna eller udda tal som det finns hela tal, trots att det mellan 0 och 100 (och i alla andra intervall) finns dubbelt så många heltal som jämna eller udda tal. Cantor bevisade detta genom att hitta en ett-ett-avbildning mellan de hela talen och de jämna respektive udda talen. De jämna talen (j) kan skrivas som j=2h, där h är ett godtyckligt heltal (h=0 ger j=0, h=1 ger j=2, h=2 ger j=4 etc). Dvs mot varje heltal h svarar exakt ett jämnt tal j (enligt formeln). Eftersom det mot varje heltal svarar ett jämnt tal (eller udda tal, enligt formeln u=2h+1) och detta fortsätter upp i oändligheten, så finns, menade Cantor, exakt lika många hela tal som jämna/udda tal. Hans andra argument (dvs ett alternativt sätt att kvantifiera oändligheter) var att alla mängderna, (mängden av heltal och mängden av jämna eller udda tal) är uppräkningsbara. Cantor tilldelade alla uppräkningsbara mängder (alternativt alla mängder som har en ett-ett relation med heltalen) kardinaltalet ℵ0 (uttalas alef-noll — ℵ är första bokstaven i det hebreiska alfabetet).

De rationella talen är de tal som kan skrivas som bråk, dvs som ett förhållande mellan två heltal (typ a/b, där a och b är heltal). Mellan varje par av heltal (t ex 1 och 2) finns givetvis ett oändligt antal rationella tal. Det visar sig att även de rationella talen är uppräkningsbara. En möjlig uppräkning är att titta på summan av täljare och nämnare. 0/0 är odefinierat och kan stå för i princip vilket tal som helst så detta bråk är inte relevant. Så lägsta summan av täljare och nämnare blir 1, som uppfylls av ett enda tal 0/1 (=0). 1/0 är inte ett rationellt tal eftersom division med 0 inte är tillåten. Så nästa summa blir två, som uppfylls av ett enda tal 1/1. Summan 3 uppfylls av 1/2 och 2/1 medan summan 4 uppfylls av tre tal; 1/3, 2/2 och 3/1 och summan 5 av 4 tal; 1/4, 2/3, 3/2 och 4/1. Etc. Eftersom de rationella talen är uppräkningsbara har de samma mäktighet/kardinaltal som de hela talen. Dvs trots att det finns oändligt många rationella tal mellan varje par av heltal, så finns det exakt lika många rationella tal som heltal. Som sagt, när man studerar oändligheter måste man ta sina tankar till fånga och följa reglerna även när intuitionen skriker av smärta.

När man tittar på de rella talen (alla talen på tallinjen), vilka inkluderar tal som inte kan skrivas som bråk (roten av 2, pi, e etc, vilka kallas irrationella tal) visar det sig att denna mängd inte är uppräkningsbar. Detta bevisas genom att man ställer upp en godtycklig följd av reella tal som man antar utgör en komplett uppräkning utifrån något system. Genom Cantors diagonalförfarande kan man nu konstruera ett tal som garanterat inte finns med i uppräkningen. Inkluderar man detta tal i uppräkningen kan man sedan genom Cantors diagonalförfarande konstruera ett nytt tal som inte finns med i den nya uppräkningen, osv i all evighet. Alltså är mängden av de reella talen inte uppräkningsbar. Sådana talmängder tilldelade Cantor kardinaltalet ℵ1 (alef-1). Huruvida det existerar högre kardinaltal än ℵ1 (typ ℵ2 etc) vet vi inte. Enligt den omstridda kontinuumhypotesen finns inget kardinaltal mellan ℵ0 och ℵ1.

Man lyckades således på 1800-talet i viss mening tämja oändligheten i matematisk mening. Vilket gör att vi nu har full kontroll över detta med derivator och integraler. Så man kan säga att 1800-talet var ett produktivt sekel för matematiken.

 

Några avslutande kommentarer

Förutom formalister och intutionister finns också inom matematiken platonister. Dessa menar att matematiken har en egen existens, oberoende av människan och att de matematiska konstanterna π, e etc har en egen existens, kanske i idévärlden (om man inte tror på Gud) eller hos Gud (om man tror på Gud). Många av de riktigt framstående matematikerna är platonister. Formalisterna anser i stället att när vi i matematiken tycker oss se Guds fotspår i sanden är det i själva verket våra egna fotspår vi ser (fast vi glömt bort att vi gått där tidigare). Lennart Carleson är en världsledande svensk matematiker. Han är en av världens ledande experter på differentialekvationer. Han kan nog ses som platoniker. Han doktorerade väldigt ung och fick en personlig professur eftersom Sverige var rädd att förlora honom till USA. Han brukar tala om primtalen som givna oss av Gud. Hans lärare och mentor, Arne Beurling, var enligt Carleson också platoniker.

Beurling forcerade ensam under WW2 den tyska krypteringsmaskinen G-skrivaren, med papper och penna på två veckor och lyckades också förstå hur den var konstruerad (utan att ha tillgång till en sådan maskin) tillräckligt väl för att kunna göra en ritning av den. En judisk ingenjör, Silberstein, som bodde i Stockholm, byggde enligt Beurlings anvisningar en G-skrivare (men den såg inte alls ut som en G-skrivare till det yttre) och sedan kunde Sverige läsa den tyska telegramtrafiken mellan det tyskockuperade Norge och Tyskland (den gick genom kabel via Göteborg). På så sätt fick vi i ett tidigt skeende information om att tyskarna planerade ett anfall mot Sovjet, operation Barbarossa. G-skrivaren var mer komplex än Enigma och tyskarna var helt övertygade om att G-skrivaren var omöjlig att forcera. Därför vågade de sända sin hemliga trafik genom Sverige (de visste givetvis att vi avlyssnade den). Det handlade om stora mängder trafik som skrevs ut på smala pappersremsor och det kunde bli upp till 10 km remsa per dygn!

När det gäller den mer berömda Enigmamaskinen så hade engelsmännen fått tag på två sådana, de hade ett helt team av matematiker under ledning av Alan Turing och tillgång till en avancerad dator specialbyggd för att just knäcka enigmakoden. Ändå var det med stora ansträngningar och efter lång tid man lyckades forcera Enigma. Detta gjorde således Arne Beurling ensam på två veckor med papper och penna! Utan att ha sett en G-skrivare. På Öppet Arkiv (SVT), som man når via SVT Play, finns en mycket välgjord film (ca 1 h) om Beurling och G-skrivaren. Där berättar bl a Lennart Carleson om Beurling (gå till SVT Play och sök på "G som i hemlig" så hittar du programmet).

På dessa maskiner fanns ett antal sifferhjul och där kunde man ställa in olika sifferkombinationer (och det fanns biljoner att välja mellan). Dessa kallades nyckel. För att G-skrivaren eller Enigma skulle kunna avkoda meddelandena var man tvungen att ställa in rätt nyckel. Varje dag byttes dessa inställningar och ibland bytte man mellan varje telegram om det var speciellt viktiga saker som skulle sändas. Även om de Allierade hade två Enigmamaskiner kunde man inte läsa de kodade telegrammen. Först måste man hitta rätt inställning (nyckel) bland de biljoner inställningar som fanns. Att ha en Enigmamaskin eller G-skrivare var som att stå utanför den metertjocka pansardörren till Riksbankens valv. Utan nycklar och koder kan man inte öppna dörren. Olika militära förband, staber etc använda dessutom olika nycklar och så ändrades nyckeln regelbundet och oregelbundet. Så hela tiden var man tvungen att hitta den aktuella nyckeln. Detta underlättades av att tyskarna ibland slarvade och sände många telegram med samma nyckel. Enigmamaskinen hade en svaghet man snart upptäckte, nämligen att den inte kunde koda en bokstav på sig själv, dvs ett a kunde blir vilken bokstav som helst utom a etc. Den "dator" (det var ingen riktig dator, eftersom den bara kunde göra en enda sak, knäcka Enigmakoder) som Turing m fl konstruerade utnyttjade denna svaghet hos koden. Datorn testade olika nycklar och så fort en bokstav avbildades på sig själv så visste man att det var fel nyckel och avbröt och fortsatte med nästa nyckel. Denna dator kunde stå och tugga i många, många timmar innan den hittade den aktuella nyckeln. Och ibland tog det så lång tid att det som telegrammen innehöll redan hade inträffat. Men oftast lyckades man. Beträffande G-skrivaren så utvecklade Beurling ett system så man snabbt skulle kunna hitta den aktuella nyckeln.

Tillbaka till huvudartikeln "Matematikens osannolika användbarhet"

© Krister Renard