"Godhet utan vishet och utan
gränser är bara en annan
form av ondska."
(John Paterson)

"Det är synd att 99% av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
(Okänd)

"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
(Artur Lundkvist)

"När försiktigheten finns överallt,
finns modet ingenstans."
(den belgiske kardinalen Mercier)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(Hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

Speciell relativitetsteori del 2

(Hänvisningar till appendix och ekvationer nedan gäller endast boken och inte här.)

Undersöker man nu hur Maxwells ekvationer transformeras under lorentztransformationen, finner man att dessa är invarianta (vilket ju inte gällde vid galileitransformationen). [1] Alla observatörer, som rör sig likformigt relativt varandra, kommer därför att observera samma lagar för det elektromagnetiska fältet.

Det visar sig dessvärre att den Newtonska mekanikens lagar inte längre är invarianta under lorentztransformationen. Det visar sig inte heller vara möjligt att hitta någon annan meningsfull transformation under vilken både Maxwells ekvationer och Newtons lagar är invarianta. Håller vi fast vid vårt tidigare krav att fysikens samtliga lagar skall vara invarianta, återstår därför endast alternativet att modifiera antingen Maxwells ekvationer eller Newtons lagar. Väljer vi att hålla fast vid galileitransformationen, måste Maxwells ekvationer på något sätt omformuleras, så att de blir invarianta under denna transformation. Om vi i stället vill hålla fast vid lorentztransformationen, så måste Newtons lagar omformuleras på motsvarande sätt (vilket genomförs i appendix F, där också ekvationerna (12) och (13) nedan härleds).

Ansluter vi oss nu till Einsteins tolkning av utfallet av Michelson-Morleys försök, har vi inte längre något val, utan vi tvingas som en följd av detta ställningstagande att välja lorentz-transformationen framför galileitransformationen.
Maxwells ekvationer är dessutom mer grundläggande än Newtons lagar, eftersom all växelverkan mellan makroskopiska kroppar[2], även mekanisk sådan, egentligen är av elektro-magnetisk natur. Lorentztransformationen, under vilken Maxwells lagar är invarianta, måste av detta skäl anses vara mer fundamental än galileitransformationen, vilket ytterligare styrker oss i vår föresats att hålla fast vid den förstnämnda transformationen.

Kravet på naturlagarnas invarians är, enligt en överväldigande majoritet av filosofer och vetenskapsmän, så fundamentalt att man föredrar att ge upp Newtons ekvationer framför att avstå från detta krav. Här får alltså ickevetenskapliga överväganden styra vetenskapens utveckling. I detta fall är det närmast kraven på skönhet och enkelhet som fått fälla avgörandet. Att varje observatör skulle ha sina egna naturlagar upplevs som alltför komplicerat och oskönt för att kunna accepteras.

För att fullborda speciella relativitetsteorins program måste vi alltså omformulera mekanikens lagar, så att dessa blir invarianta under lorentztransformationen. Vi måste samtidigt ställa kravet att de nya relativistiska lagarna skall övergå till de klassiska lagarna då v«c — dvs för små hastigheter — eftersom den klassiska fysiken enligt vår erfarenhet i detta fall ger en mycket god verklighetsbeskrivning.

Man finner härvid bl a följande två viktiga samband:

För att förstå vad (12) innebär återknyter vi bekantskapen med de tidigare diskuterade systemen S och S'. Låt oss anta att ett objekt befinner sig i vila i S'. Objektet är sålunda i vila i förhållande till A', dvs observatören i S', medan det rör sig med hastigheten v relativt A. Massan mätt av A' — den s k vilomassan — betecknar vi m₀ medan massan mätt av A betecknas med m. Relationen mellan dessa två massor ges nu av (12).

Den observerade massan hos en kropp är således inte längre en invariant storhet som i den klassiska fysiken utan beror av kroppens hastighet relativt observatören. Enligt (12) går den observerade massan mot oändligheten då v går mot c, vilket antyder att materiella kroppar aldrig kan röra sig med hastigheter som är lika med eller överstiger ljusets.

(13) är kanske den mest berömda av alla fysikaliska formler. Den innebär att energi och massa är relaterade till varandra. Sambandet innebär att energi har tröghet precis som massa, och att därför energi om vi så vill kan betraktas som en form av massa. Omvänt kan naturligtvis massa betraktas som en form av energi. En foton, vars energi är beroende av dess frekvens, har således också ett massinnehåll och måste därför påverkas av gravitationen, vilket bekräftas av observationer.

Ett intressant specialfall inträffar när en partikel saknar vilomassa, vilket är fallet för bl a fotonen och eventuellt neutrinon. Det visar sig att sådana partiklar endast kan röra sig med ljushastigheten c. De kan därför aldrig vara i vila relativt någon observatör.

Ibland hörs röster som vill göra gällande att den speciella relativitetsteorin egentligen inte tillfört fysiken något väsentligt. Resonemanget brukar gå ungefär i följande stil:

De relativistiska effekterna är endast skenbara. Vid exempelvis längd-kontraktionen har staven inte undergått någon verklig förkortning, eftersom den observatör som rör sig med staven inte uppfattar någon förkortning. Det är sålunda bara fråga om en synvilla. Samma sak gäller för tidsdilationen etc. Relativitetsteorin har därför inte tillfört fysiken något nytt och är av denna anledning en onödig teori.

Ingenting kunde emellertid vara mer felaktigt än ett sådant påstående. Låt oss t ex betrakta relationen mellan energi och massa, dvs (13) ovan. Detta samband kan inte härledas ur den newtonska mekanikens lagar. Under förutsättning att sambandet är sant har därför relativitets-teorin tillfört fysiken en väsentlig insikt. Att massa och energi verkligen är olika sidor av samma sak och därför kan överföras till varandra, bekräftas synnerligen övertygande av en stor mängd observationer och experiment. Några sådana är omvandlingen av materia till energi i det inre av solen och andra stjärnor, atomvapen[3] och kärnreaktorer.

Att massans hastighetsberoende inte kan avfärdas som enbart trivial, framgår av följande två exempel:

1. När man på 50-talet byggde allt kraftfullare cyklotroner (en typ av partikelaccelerator, där man accelererar exempelvis protoner till mycket höga hastigheter), fann man att denna typ av accelerator inte alls fungerade som beräknat då partiklarnas hastighet började närma sig ljusets. Orsaken till detta låg i cyklotronens konstruktion. Denna är nämligen konstruerad för en viss partikelmassa och fungerar optimalt för just denna massa. Eftersom man bortsåg från den relativistiska massökningen, utgick man från att partikelmassan var konstant och lika med vilomassan. När protonernas hastighet ökade, växte emellertid deras massa i enlighet med formel (12). Till slut avvek protonmassan, sedd från cyklotronen, så mycket från vilomassan att accelerationen av partiklarna upphörde.

Den s k synkrotronen är en förbättring av cyklotronen. Man tar där hänsyn till partiklarnas relativistiska massökning och kan därför driva accelerationen betydligt längre.

2. Stanfords linjära accelerator, med vars hjälp elektroner accelereras till mycket höga hastigheter, är omkring 3,5 km lång och har kostat 100 miljoner dollar att bygga. Om Newtons mekanik vore den korrekta teorin och relativitetsteorin endast gav upphov till "skenbara fenomen", skulle acceleratorn endast behövt vara omkring 3 cm lång!!![4]

När man hävdar att de relativistiska effekterna endast är skenbara, lever man i villfarelsen att massökning, längdkontraktion etc bara registreras av mänskliga observatörer. Orsaken till cyklotronens begränsning är emellertid att de elektromagnetiska krafter som accelererar och styr en partikel inte längre verkar på en kropp vars massa är lika med vilomassan m, utan på en kropp vars massa är beroende av hastigheten enligt (12). Det är således inte bara mänskliga observatörer som observerar de relativistiska effekterna, utan dessa "observeras" även av naturens lagar.

Enligt Maxwells ekvationer är magnetism en konsekvens av elektriska laddningar i rörelse, dvs elektrisk ström. Sambandet mellan elektricitet och magnetism har inom denna teori ingen djupare fysikalisk bakgrund utan är enbart baserat på experimentella observationer. Någon förklaring till varför elektriska laddningar i rörelse ger upphov till magnetism, ges inte av Maxwells teori.
I den speciella relativitetsteorin visar sig emellertid magnetismen vara en konsekvens av tidens och rummets relativitet i samband med laddningar i rörelse. I fallet magnetisk kraft mellan två strömgenomflutna parallella ledare, kan t ex denna växelverkan visas vara en direkt följd av längdkontraktionen. Låt oss undersöka detta lite närmare.

Om vi har två raka, parallella ledare som genomflyts av motriktade strömmar (se fig A och B), får vi en repulsiv, magnetisk kraft mellan de två ledarna. Enligt elläran gäller som nyss sagts att elektriska strömmar (laddningar i rörelse) alltid ger upphov till magnetfält. I vårt fall blir magnetfälten sådana att kraften mellan ledarna blir repulsiv. Klassiskt sett finns ingen elektrisk kraft mellan ledarna. De är elektriskt neutrala, eftersom vi per längdenhet har lika många plus- som minusladdningar. Vi kan därför inte förklara denna kraftverkan mellan ledarna utan att införa en ny typ av växelverkan, vilken fått namnet magnetism.

Kristallgittret som bygger upp ledaren består av atomer bundna till varandra. Dessa atomer har i en ledare (metall) förlorat en del av sina yttersta elektroner, vilka blivit s k ledningselektroner eller fria elektroner (som alltså leder strömmen). Dessa negativa laddningar är inte bundna till någon viss atom, utan kan röra sig fritt i hela ledaren.

De positiva laddningarna utgörs av de protoner som ingår i atomkärnorna. Alla plus-laddningar är därför orörliga medan en del av minusladdningarna — ledningselektronerna — enligt ovan är rörliga. Eftersom atomerna har förlorat elektroner, kommer de att ha en positiv nettoladdning, som kompenseras av ledningselektronernas negativa laddning. Ledaren som helhet är därför elektriskt neutral. I fortsättningen menar vi den positiva nettoladdningen när vi talar om de positiva, orörliga laddningarna i ledaren.

Antag nu att en lika stor men motriktad ström, I, flyter genom de båda ledarna enligt figurerna nedan. De fria elektronerna rör sig då genom ledarna i motsatt riktning mot strömmen. Vi betraktar nu ledare 2 "sett från" en ledningselektron i ledare 1.

Fig A visar hur de positiva, orörliga laddningarna i ledare 2 ses utifrån denna elektron. Vi antar att ledningselektronernas medelhastighet är v, vilket innebär att relativa hastigheten mellan en ledningselektron i ledare 1 och de stillastående, positiva laddningarna i ledare 2 är lika med v.

Fig B visar hur ledningselektronerna i ledare 2 ses utifrån en ledningselektron i ledare 1. Relativa hastigheten mellan dessa blir uppenbarligen v + v = 2v, eftersom de rör sig åt motsatt håll med lika stor hastighet.

Sett utifrån en ledningselektron i ledare 1, kommer därför på grund av längdkontraktionen antalet negativa laddningsbärare per längdenhet i ledare 2 att vara större än antalet positiva laddningsbärare per längdenhet i samma ledare. Antalet negativa laddningar per meter i ledare 2 kommer ju på grund av denna kontraktion att vara koncentrerade till en kortare bit av ledaren än vad samma antal positiva laddningar är. Ju större relativ hastighet desto större längd-kontraktion. Vi får således ett skenbart nettoöverskott av negativa laddningar per längdenhet i ledare 2 som av denna anledning, sett utifrån ledningselektronerna (negativa) i ledare 1, därför ter sig negativt laddad. Detta ger upphov till elektrisk repulsion mellan de två ledarna, eftersom lika elektriska laddningar repellerar varandra.

Magnetismen är således inte någon ny typ av växelverkan utan kan helt och hållet förklaras utifrån en kombination av elektrisk växelverkan och relativistiska effekter.
Resonemanget ovan är endast kvalitativt. En mer exakt, kvantitativ analys leder fram till precis samma resultat som ges av den klassiska elläran.
Detta och många, många andra exempel visar att den speciella relativitetsteorin — inom sitt kompetensområde — ger en mer fundamental verklighetsbeskrivning, och att den därför är en bättre modell av verkligheten, än någon annan motsvarande teori vi för närvarande har.

Den speciella relativitetsteorin gäller, som framkommit ovan, endast för system, vilka rör sig med konstant hastighet, dvs utan acceleration. Sådana system brukar kallas inertialsystem (Se närmare i appendix D).

Då vi tidigare konstaterat att någon absolut rörelse ej existerar, kan man undra hur vi kan avgöra att ett system verkligen rör sig med konstant hastighet. En i högsta grad berättigad fråga i sammanhanget är naturligtvis: "Konstant hastighet relativt vad?" Definitionen av begreppet inertialsystem är i allmänhet något luddig. Ofta används uttryck som "system vilka rör sig med konstant hastighet relativt solen eller fixstjärnehimlen". Problemet är att både sol och fixstjärnor rör sig. Den bästa referenspunkten vore naturligtvis universums masscentrum, men tyvärr ligger det utanför mänsklig förmåga att bestämma var i universum denna punkt är belägen, om det nu överhuvudtaget är meningsfullt att tala om en sådan punkt.

En alternativ och kanske bättre definition är att utgå från tröghetslagen. Ett inertialsystem kan då definieras som ett koordinatsystem i vilket tröghetslagen (och därmed den Newtonska mekaniken) gäller utan medverkan av pseudokrafter (skenkrafter) som centrifugalkraft, corioliskraft etc.

Roterande system — som t ex jorden — är således, vilket tidigare konstaterats, inte inertialsystem, eftersom vi där måste införa diverse pseudo-krafter för att Newtons ekvationer skall gälla. Att man trots detta genom experiment utförda på jorden, lyckats komma fram till dessa ekvationer, beror på att de av jordrotationen orsakade centrifugal- och corioliskrafterna är mycket svaga krafter. Som tidigare nämnts blir de i huvudsak märkbara vid storskaliga fenomen. Vid experiment i laboratorieskala är pseudokrafterna endast påvisbara vid vissa speciella försök[5]. Jorden kan därför betraktas som ett approximativt inertialsystem, användbart framför allt vid studiet av småskaliga fenomen.
Också i fallet rotation och acceleration kan man fråga sig relativt vad man roterar eller accelererar. Orsakas pseudokrafterna av jordens rotation i förhållande till universums avlägsna materia (fixstjärnorna)? Skulle vi behöva införa pseudokrafter även om jorden vore ensam i universum?[6] Dessvärre har vi inget svar på dessa frågor.

Andemeningen med begreppet inertialsystem är tydligen att systemet skall vara fritt, dvs inte påverkas av några krafter utifrån. En observatör som befinner sig i ett inertialsystem kan betraktas som "fri" eftersom han inte växelverkar med den övriga världen. De iakttagelser en sådan observatör gör kan därför anses vara mer objektiva än som varit fallet om observatören påverkats av omgivningen. Den klassiska fysikens objektiva och oberoende observatör, vilken inte är en del av den verklighet han observerar, är här idealet.

Detta i motsats till kvantmekanikens observatör, som vare sig han vill det eller ej är en del av den verklighet han observerar. Observatör, experimentuppställning och det observerade utgör där en odelbar helhet.

Som tidigare framgått blir de relativistiska effekterna märkbara först vid mycket höga hastigheter. Vid 20 km/s, som med jordiska mått mätt är en mycket hög hastighet, har en kropp med vilomassan 1 kg endast ökat sin observerade massa till 1,000000002 kg, vilket är en omätbar ökning. Vid 0,8c har emellertid den observerade massan för samma kropp ökat till ca 1,67 kg och vid hastigheten 0,999c till drygt 22 kg! För hastigheter upp till flera kilometer per sekund ger därför Newtons mekanik en mycket god verklighetsbeskrivning.

Den speciella relativitetsteorin kan tillämpas på alla fysikaliska fenomen med undantag för gravitation. Tillsammans med kvantmekaniken ger den därför en tillfredsställande beskrivning av makroskopiska och mikroskopiska fenomen i samband med elektromagnetisk, stark och svag växelverkan.

Då vi har gravitation eller om systemet är accelererat måste vi använda den allmänna relativitetsteorin. Om accelerationen är liten eller gravitationen svag är den speciella relativitetsteorin en god approximation. I närheten av solen eller andra stora masskoncen-trationer uppträder emellertid fenomen som endast kan förklaras med hjälp av den allmänna relativitetsteorin.[7] Vi skall inte fördjupa oss ytterligare i detta, utan jag hänvisar den intres-serade läsaren till de många populära framställningar som finns i ämnet.
Tidigare har nämnts diverse olika försök att motbevisa den speciella relativitetsteorin. Det kanske kan vara på sin plats att än en gång påminna om det inledande vetenskapsteoretiska resonemanget. Som påpekats där så menar vi, då vi säger att en teori är sann, att den uppfyller följande två kriterier:

1. Den är motsägelsefri.
2. Den stämmer överens med den observerade verkligheten.

Verklighetens innersta varandes natur (ontologi) är inte tillgänglig för den vetenskapliga metoden. Vetenskapliga teorier är inget annat än modeller av verkligheten. En teori är således inte lika med verkligheten själv, även om den naturligtvis är kopplad till verkligheten via observationer och experiment.

Att fysikerna "fastnat" för den speciella relativitetsteorin och inte för någon av de alternativa modellerna — varav en del är seriösa, andra mindre seriösa och vissa rena fantasifoster — som i olika sammanhang lagts fram, är helt enkelt att relativitetsteorin för närvarande ger den enklaste, mest kompakta och mest övergripande förklaringen av våra observationer.
Lika lite som när det gäller någon annan teori har vi några absoluta bevis för relativitetsteorin. Vad vi har är överväldigande indicier till dess fördel och vi har ännu inget bättre alternativ, men Einsteins teori skulle naturligtvis överges i morgon om en bättre teori kom fram.[8]

Tillbaka till Min Fysiksida

Tillbaka till Speciell relativitetsteori del 1

Du kan läsa mer om speciella relativitetsteorin i min bok Den moderna fysikens grunder — från mikrokosmos till makrokosmos, utgiven på Studentlitteratur i Lund.

---

[1] Se appendix G, där detta visas.
[2] Vi bortser här från gravitationen.
[3] De som 1945 bodde i Hiroshima och Nagasaki skulle nog protestera kraftigt om någon påstod att sambandet mellan materia och energi endast är skenbart.
[4] Exemplet hämtat från sid 163 i A short course in General Relativity av J Foster & J D Nightingale, utgiven på Longman 1979.
[5] T ex det välkända Foucaults pendelförsök (finns uppsatt på Tekniska Muséet i Stockholm). Även om jorden vore täckt av ogenomträngliga moln så att observationer av himlakroppar omöjliggjordes, skulle vi genom detta försök kunna påvisa jordens rotation.
[6] Givetvis skulle vi i detta fall inte kunna konstatera någon rotation genom direkta observationer eftersom det inte funnes några himlakroppar att observera. Jfr med föregående not! Frågan är således om vi även i denna situation skulle kunna använda Foucaults pendelförsök för att avgöra om jorden roterar.
[7] Jfr Merkurius periheliumförskjutning.
[8] De amatörforskare som upprörda kritiserar relativitetsteorin, och som anser sig kunna bevisa alla relativitetsteorins formler utifrån t ex Newtons mekanik, har i allmänhet inte förstått detta. Vid en närmare analys av deras arbeten finner man också att de antingen missuppfattat relativitetsteorin eller att de manipulerar formler på ett helt felaktigt sätt för att få det önskade resultatet eller också att de är omedvetna om hela det komplex i vilket relativitetsteorin ingår.