"Godhet utan vishet och utan
gränser är bara en annan
form av ondska."
(John Paterson)

"Det är synd att 99% av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
(Okänd)

"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
(Artur Lundkvist)

"När försiktigheten finns överallt,
finns modet ingenstans."
(den belgiske kardinalen Mercier)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(Hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

Kortfattat om allmän relativitetsteori

Alla objekt som innehåller massa påverkar varandra med den s k gravitationskraften (tyngdkraften — ibland används uttrycket gravitationell växelverkan). Gravitationen, som alltid är attraktiv, är en av de tre naturkrafterna (de övriga två är stark kraft och elektrosvag kraft — se min artikel om Standardmodellen). All växelverkan mellan objekt i vårt universum sker genom dessa tre naturkrafter och några ytterligae krafter ingår inte i den moderna fysikens modeller (det finns dock vissa indikationer på att det möjligen skulle kunna finnas en ytterligare naturkraft, men om den existerar så är den under alla förhållanden så svag att den endast spelar någon roll i mycket speciella sammanhang). Gravitationen blir starkare ju större massorna är och ju närmare varandra de befinner sig. Fenomenet gravitation kan beskrivas med hjälp av två olika modeller (teorier):

1. Som ett fält — Newtons klassiska modell — eller som växelverkan via kraftpartiklar[1] — det moderna kvantfältperspektivet. I båda dessa fall betraktar man gravitationen som en av de tre naturkrafterna.

2. Utifrån en krökt rum-tid, där fria objekt — dvs föremål som inte påverkas av de två övriga krafterna[2] — rör sig längs s k geodetiska linjer. En geodetisk linje ger det kortaste avståndet mellan två punkter.

I den klassiska fysiken är normalt kortaste avståndet mellan två punkter en rät linje, dvs geodetiska linjer består i den klassiska fysiken av räta linjer. Fria kroppar (dvs kroppar som inte påverkas av några krafter) rör sig, enligt den klassiska fysiken, med konstant hastighet, dvs bibehåller fart och riktning, och rör sig således längs en rät linje med konstant fart.

Vad är det då som orsakar rummets eventuella krökning? Jo, enligt Einsteins gravitationsteori påverkar materiella objekt rummets geometri, så att rummet, eller snarare rum-tiden (eftersom rum och tid är jämställda), blir mer eller mindre krökt, beroende på objektets densitet, storlek och form. Maximal krökning får man vid s k svarta hål. I tomma rymden är rum-tiden icke-krökt, dvs plan. I en krökt rum-tid (som således kröks av materiella objekt) är inte längre geodetiska linjer ekvivalenta med räta linjer, dvs fria objekt (som enbart påverkas av gravitation — gravitationen är ju ingen kraft i detta perspektiv) kan således röra sig i en krökt bana. Detta är den allmänna relativitetsteorins grundperspektiv. En tvådimensionell analogi ges av den krökta jordytan, där de geodetiska linjerna utgörs av storcirklar vilka på en vanlig karta är mer eller mindre krökta kurvor.[3]

Bilden visar en verklig rutt för en flygning mellan Punta Cana (Dominikanska Republiken) och Moskva, utritad på en vanlig karta. Huvudsakligen så följer man en storcirkel (GC), men avvikelser kan förekomma på grund av att man i vissa områden måste följa s k luftleder (airways). Väljer man att i stället flyga längs räta linjen (enligt kartan — kallas loxodromen och betecknas här med LO), så blir distansen betydligt längre (loxodromen kännetecknas av att man hela tiden håller en och samma kompasskurs, dvs vinkeln i förhållande till meridianerna är konstant). Storcirkeldistansen blir 4988 nm (1 nautisk mil = 1852 m) medan loxodromdistansen är 5344 nm. Man tjänar således 356 nm på att följa storcirkeln (ca 45 minuters flygtid). Fartyg som korsar Atlanten från Nordeuropa till USA eller tvärtom vinner omkring ett dygn på att följa storcirkeln.

I allmänna relativitetsteorin har man således transformerat bort gravitationen som kraft betraktad. Orsaken till att en kastad boll mellan A och B rör sig längs en parabel är i detta perspektiv inte att den påverkas av någon kraft, utan att jordmassan åstadkommer en krökning av rum-tiden. Bollen, vilken betraktas som en fri kropp (utan påverkan av yttre krafter), rör sig längs den geodetiska linjen (genaste vägen) i den fyrdimensionella rum-tiden mellan A och B. Projektionen av denna fyrdimensionella kurva i det vanliga tredimensionella rummet är den välkända kastparabeln. Jordens rörelse runt Solen eller Månens rörelse runt Jorden, tidvattnet etc orsakas således inte av någon kraft, utan av att rummet runt Solen respektive Jorden är mer eller mindre krökt.

Einsteins gravitationsteori innebär med andra ord att man geometriserar bort gravitationen som kraft. Detta är möjligt, eftersom gravitionen är en "allmän kraft". Med detta menas att gravitationen påverkar alla objekt i rum-tiden, eftersom alla objekt har massa (även energi har massa enligt Einsteins berömda formel E=mc²). Detta till skillnad från t ex elektrisk och magnetisk kraft, vilka endast påverkar de objekt som är elektriskt laddade respektive som själva är magneter (eller snarare som har en elektrisk nettoladdning skild från noll respektive ett totalt magnetfält skilt från noll).

Den klassiska fysikens grundläggande samband ges av Newtons tre rörelselagar plus Newtons gravitationslag. Kvantmekanikens grundläggande samband ges av Schrödingerekvationen (klicka här för en närmare diskussion om denna lag — använd webbläsarens sökfunktion för att hitta). Den allmänna relativitetsteorins grundläggande samband ges av denna teoris s k fältekvationer (också kallade Einsteins fältekvationer). Dessa kan sammfattas i formeln (i sin enklaste form):

Denna formel ser väldigt simpel ut. Det ser ut som att vi har en enda enkel ekvation. Skenet bedrar dessvärre, eftersom G_μν (som kallas Einsteintensorn) och T_μν (som kallas stress-energitensorn) är tensorer (en utvidgning av vektorbegreppet — se förklaring i de indragna styckena nedan), där μ (my) och ν (ny) kan antaga värdena 0, 1, 2 och 3, dvs formeln består i själva verket av 16 olika ekvationer (G₀₀, G₀₁... G₃₃ och analogt för T_μν). Skriver vi ut alla delekvationerna får vi:

Ovan ser vi de tre första och den sista delekvationen av de 16 fältekvationerna. Utav dessa 16 ekvationer är endast 10 ekvationer oberoende av varandra (resten är beroende, eftersom μ och ν kan byta plats, dvs G_ab = G_ba och T_ab = T_ba). Dessa 10 ekvationer utgör andra ordningens, icke-linjära, partiella differentialekvationer och att lösa dessa är en monumental uppgift. Eftersom vi kan välja vårt koordinatsystem (var vi vill placera origo och riktningen på axlarna) kan antalet oberoende ekvationer reduceras till 6, vilket är goda nyheter, även om problemet fortfarande är monumentalt (men kanske mindre monumentalt än om vi hade haft 16 oberoende ekvationer). Man kan bara hitta exakta lösningar (analytiska lösningar) i fall med speciella symmetrier, eftersom sådana gör att antalet oberoende ekvationer kan reduceras ytterligare plus att själva ekvationerna blir enklare.

Einstein själv hittade bara några enkla lösningar till allmänna relativitetsteorins fältekvationer, genom att linearisera dessa ekvationer (vilket innebar en stor förenkling). På så sätt kunde han teoretiskt förutsäga Merkurius perihelimumförskjutning och ljusets gravitationella avböjning (den senare är mycket svag och kan bara mätas när ljus från stjärnor passerar nära stora massor som Solen). Periheliumförskjutningen hos Merkurius hade astronomerna redan mätt och dessa mätta värden visade sig stämma väl överens med allmänna relativitetsteorins teoretiska förutsägelser. Stjärnljusets avböjning nära Solen kan bara mätas vid total solförmörkelse (av uppenbara skäl) och det dröjde några år tills en sådan inträffade. Mätningarna, som gjordes av den berömde brittiske astrofysikern Arthur Eddington, var helt i enlighet med Einsteins teori (inom mätnoggrannheten). Klicka här för att läsa mer om de olika mätningar som bekräftar allmänna relativitetsteorins förutsägelser (använd webbläsarens sökfunktion för att hitta — sök t ex på "perihelium")!

Sedan dess har fysiker och matematiker hittat ytterligare analytiska lösningar (dvs exakta lösningar). Den första gjordes 1915 av den tyske fysikern Karl Schwartzschild och gällde ett enkelt fall med en icke-roterande eller långsamt roterande, sfäriskt symmetrisk massa (vilket förenklade problemet avsevärt). Denna lösning (ofta kallad Schwartzschildmetrik) visade att om massan i en kropp komprimeras mer och mer till en viss radie (kallad Schwartzschildradien), vilken är propotionell mot massan, så kollapsar kroppen till ett objekt med så extrem gravitation att inte ens ljus kan lämna denna kropp (dvs objektet kommer att se helt svart ut). Sådana objekt kom senare att få namnet svarta hål (termen "svart hål" myntades 1968 av fysikern och nobelpristagaren John Wheeler). För att Jorden med sin massa 5,97⋅10²⁹ kg skall bli ett svart hål, måste planeten krympa till en radie på 9 mm! Motsvarande för Solen är 2,9 km (observera att dessa svarta hål kommer att ha samma massa som Jorden respektive Solen trots att radien bara är 9 mm respektive 2,9 km, dvs densiteten kommer att vara enorm). Varken Jorden eller Solen kan emellertid bli svarta hål. De är helt enkelt för små (när Solen om flera miljarder år har brunnit ut, kommer den i stället att kollapsa till en vit dvärgstjärna). Minimimassan för att ett svart hål skall bildas är ca 3 solmassor och ett typiskt svart hål på 10 solmassor har en radie på 29 km. Det svarta hål som finns i Vintergatans centrum har en massa på 4 miljoner solmassor och har radien 11,6 millioner km (ungefär 20 gånger Solens radie). Till en början var svarta hål teoretiska artefakter och många fysiker tvivlade på deras existens. I början av 1970-talet observerades de första svarta hålen och idag är svarta hål ett vardagsbegrepp inom astronomin.

1922 kom den ryske fysikern Alexander Friedmann med en ytterligare exakt (analytisk) lösning till fältekvationerna. I sin lösning förutsätter han ett universum som är homogent och isotropt. Homogent innebär att universum har samma massfördelning överallt. Och isotropt betyder att universum är identiskt lika oavsett i vilken riktning man observerar det. Småskaligt stämmer inte detta antagande (planter, stjärnor, galaxer etc utgör inhomogeniteter), men storskaligt kan universum betraktas som nästan homogent och isotropt. Friedmanns lösning kom att kallas "den expanderade universum lösningen", eftersom den förutsäger ett expanderande universum. Detta ledde den belgiske prästen och fysikern George Lemaître till att formulera bigbangteorin, som idag utgör grunden för vår kosmologiska världsbild. Lemaître utgick, under sitt arbete med bigbangteorin, från Friedmanns lösning av Einsteins fältekvationer. Friedmanns arbete handlade emellertid om ett teoretiskt universum medan Lemaître tillämpade Friedmanns lösning på vårt verkliga, fysiska universum.

Att hitta analytiska lösningar (där man med hjälp av matematikens regler och teorier hittar exakta lösningar) till Einsteins fältekvationer är som sagt mycket svårt och kan ta åratal eller till och med vara en livsuppgift. Eftersom ekvationerna är icke-linjära, är det (såvitt vi vet idag) omöjligt att någonsin hitta en generell, analytisk lösning (som kan uttryckas i en eller flera formler). De analytiska lösningar som hittats handlar om förenklade specialfall, där man antagit olika typer av symmetrier (som beskrivits ovan). Fältekvationerna kan också lösas numeriskt (dvs approximativa lösningar som görs med datorer, eller snarare superdatorer). Även detta är mycket, mycket svårt. Förmodligen innehåller allmänna relativitetsteorins fältekvationer ytterligare lösningar som vi ännu inte hittat och som kanske kommer att förändra vår världsbild ännu ett steg (klicka här för att läsa mer om analytiska och numeriska lösningar till ekvationer och differentialekvationssytem — första avsnittet i artikeln).

Vid analytiska lösningar av differentialekvationer (som det handlar om här) får vi svaret i form av exakta matematiska uttryck (formler). Genom dessa uttryck kan vi ser hur lösningen varierar när olika parametrar varierar. Vid numeriska lösningar får man svaret i form av siffror, vilka kan presenteras i tabeller eller som grafer. Dessa siffror är inte exakta men felet hos dem kan beräknas, varför de blir användbara när det gäller att jämföra teori och mätningar.

Men låt oss nu återvända till Einsteins fältekvationer och titta lite närmare på dem rent matematiskt för att få en bättre förståelse av vad en tensor är (den matematiskt ointresserade läsaren kan hoppa över de indragna styckena nedan).

En skalär är en fysikalisk storhet som endast har "storlek" och som kan karakteriseras av ett enda tal, t ex energi och temperatur. En vektor är en fysikalisk storhet som både har storlek och riktning, t ex hastighet och kraft. På högstadiet och gymnaiset representeras vektorer i det två- och tredimensionella rummet) av pilar, vars riktning anger vektorns riktning och vars längd är proportionell mot storleken. På en högre nivå anges tredimensionella vektorer med taltripletter, typ F=(F_x, F_y, F_z). F_x är vektorns komposant i x-led etc. I samband med rum-tiden innehåller vektorerna 4 komposanter, där den fjärde är kopplad till tiden.

Vissa fysikaliska storheter är mer komplexa än skalärer och vektorer. Dessa representeras av tensorer. Ett exempel på en fysikalisk storhet som är en tensor är stresstensorn, vilken anger stress i t ex en balk (i ett snitt av balken). Här räcker det inte med tre komposanter, eftersom stress består av två skjuvkrafter (rörelse i sidled) och en tryckkraft. Stress är således ingen vektor utan måste representeras av tre krafter med tre komposanter vardera, vilket tillsammans blir 9 komposanter. För detta krävs en tensor. En sådan skrivs som en matris (i det tredimensionella fallet en 3x3-matris, med 3 rader och 3 kolumner) och kan se ut så här:

F_ab betyder således tensorelementet i rad a och kolumn b, dvs F₂₃ är elementet i rad 2 och kolumn 3 etc. Elementet i övre vänstra hörnet har index 11. I fallet stresstensorn (eller generellt tensorer som representerar krafter) ges de tre krafterna av de tre kolumnerna, dvs den första kraften är F₁=(F₁₁, F₂₁, F₃₁), där F₁₁ är F₁:s x-komposant etc.

Einsteintensorn har således följande utseende:

Arbetar vi i stället i den fyrdimensionella rum-tiden kommer tensorerna att vara av typ 4x4, dvs ha fyra rader och 4 kolumner. I Einsteins fältekvationer numreras, som vi sett ovan, rader och kolumner från 0 till 3, dvs G₁₃ är G-komposanten i rad 1 (som i detta fall är andra raden, eftersom första raden anges med siffran 0) och i kolumn 3 (som här är fjärde kolumnen, eftersom kolumn 3 är sista kolumnen).

Elementen i en tensor kan vara tal eller funktioner (som i Einsteins fältekvationer) eller andra matematiska objekt. Tensornotation (att sammfatta multipla storheter till en enhet) gör att oehört komplexa samband kan sammanfattas i kortfattade och översiktliga formler. Att lösa tensorekvationer kan vara väldigt bökigt men den kompakta notationen gör att man som fysiker snabbt kan få en övergripande förståelse för oerhört komplicerade samband. Tensorer används förutom i allmänna relativitetsteorin inom mekaniken (ovannämnda stresstensorn), flödesdynamik, elektrodynamik, kvantmekanik med mera. Läsaren är redan familjär med skalär- och vektorfält. Temperaturen på jordytan utgör t ex ett skalärfält — i varje punkt på jordytan har temperaturen (som är en skalär) ett värde. Gravitationen runt Jorden utgör ett vektorfält (gravitationskraften har ju både storlek och riktning). På samma sätt finns det tensorfält (som i allmänna relativitetsteorins fältekvationer). När det gäller mekanisk stress (t ex i en balk) så varierar stresstensorn från punkt till punkt, dvs utgör ett fält. Tensorfält är oerhört vanliga i fysiken och ofta säger man bara tensor. Tensorbegreppet kan låta väldigt avancerat och kan också vara det, men förekommer också på grundläggande kurser på tekniska högskolor. Jag undervisade några år på KTH i Stockholm på en kurs för tekniska fysiker som hette "Vektoranalys och tensoranalys" (eller något liknande). Civilingenjörer inom vissa områden arbetar mycket med hållfasthetslära och där ingår att ha grundläggande förståelse för detta med stress. Och tensorer är det enklaste och mest naturliga sättet att göra stressanalyser.

Tensorer är en utvidgning av skalärer. Tensorerna i figurerna ovan är tensorer av andra rangen och sådana tensorer kan representeras av 2-dimensionella matriser. Det finns också tensorer av högre ranger. En tensor av tredje rangen representeras av en 3-dimensionell matris, där vi förutom rader och kolumner har lager (typ 3x3x3). En vektor är helt enkelt en tensor av första rangen (kan skrivas som en endimensionell matris) och en skalär är en tensor av nollte rangen (ungefär som att en punkt är nolldimensionell). Rangen av en tensor är kopplad till antalet index som behövs för att ange tensorns element. I en skalär behövs inga (dvs noll) index, eftersom en skalär består av ett enda tal. Således har skalärer rangen noll. För vektorer krävs ett index (typ F_a), dvs vektorer har rangen lika med ett. Och för tensorer av andra rangen krävs två index (typ F_ab). I tredje rangens tensorer har elementen formen F_abc, etc.

Observera att vad som är skalär, vektor eller tensor inte är godtyckligt. Vilka tre tal eller funktioner som helst är inte en vektor. Taltripletten (45, 189, 5) skulle kunna vara en vektor men det går inte att veta om vi inte vet vad dessa tre tal står för (de är i själva verket mitt skonummer, min kroppslängd och antalet lådor i hurtsen till höger om mitt skrivbord — denna taltriplett är defintivt ingen vektor utan är bara en meningslös kombination av tre tal). Vad som fysikaliskt sett är skalär, vektor eller tensor är inte godtyckligt utan är klart definierat utifrån hur dessa matematiska objekt transfomeras mellan olika koordinatsystem. För att en fysikalisk storhet skall vara en skalär måste den transformeras på ett visst sätt när man byter koordinatsystem. Etc.

I föreliggande artikel talar vi om skalärer, vektorer och tensorer utifrån ett fysikaliskt perspektiv. Här handlar det om skalärer etc som representerar den fysikaliska verkligheten vilken har vissa, givna egenskaper som de matematiska representationerna måsta avspegla. Tensorbegreppet utvecklades på 1890-talet av matematiker (bl a Ricci) och hade då ingen koppling till verkligheten, utan handlade om definitioner och algebraiska regler etc. Så småningom upptäckte fysikerna att tensorer var användbara för att representera vissa fysikaliska storheter. När Einstein i början av 1910-talet började arbeta med sin allmänna relativitetsteori insåg han snabbt att han inte hade de matematiska verktyg han behövde för att uttrycka sina tankar. Som tur var hade han en nära vän som hette Marcel Grossmann. Denne var matematiker och hade varit studiekamrat med Einstein. Grossmann arbetade bl a med differentialgeometri (där tensorer ingår) och när Einstein förklarade vilken typ av matematik han behövde, kunde Grossmann tipsa honom om att han borde testa att formulera sin teori i tensorer. Vilket visade sig vara ett gott råd. Förmodligen fick Einstein inledningsvis en del konkret hjälp av Grossmann. Vilket inte på något sätt förringar Einsteins roll när det gäller utvecklandet av allmänna relativitetsteorin.

Precis som att det finns vanlig algebra (hur man manipulerar matematiska uttryck innehållande tal, vilka kan men inte behöver vara skalärer — jag talar här om fysikaliska tillämpningar av matematiken) och analys (som handlar om funktioner av tal och deras derivator och integraler) så finns det vektoralgebra (här får man lära sig hur man adderar och multiplicerar etc vektorer) och vektoranalys (här får man lära sig hur man deriverar och integrerar etc vektorfunktioner) och motsvarande för tensorer; tensoralgebra och tensoranalys.

Termen på vänster sida om likhetstecknet i fältekvationerna kallas, som nämnts ovan, Einstein-tensorn (G_μν), vilken uttrycker gravitationseffekten genom krökningen av rum-tiden medan termen på höger sida uttrycker energin och rörelsemängden hos materien (dvs ger information om den lokala materiefördelningen). T_μν kallas stressenergitensorn och G är Newtons gravitationskonstant och c ljushastigheten i vakuum. Fältekvationerna ger helt enkelt sambandet mellan massinnehållet i en del av universum och rum-tidens lokala krökning där (som ger upphov till det vi kallar för gravitation). Fysikern och nobelpristagaren John Archibald Wheeler sammanfattade en gång fältekvationerna på följande sätt, "Rum-tiden talar om för materien hur den skall röra sig och materien talar om för rum-tiden hur den skall kröka sig". Dvs vi har ett ömsesidig relation mellan materia och krökning.

När man försöker förklara allmänna relativitetsteorin pedagogiskt använder man ofta ett spänt gummimembran på vilket man lägger en tung kula, som ger upphov till en "grop" i membranet. Seden låter man en lättare kula rotera runt den tyngre kulan. Den hålls kvar i sin rotation på grund av att den inte har tillräckligt med energi för att ta sig ur "gropen". Denna modell har en del kvaliteter och ger en viss förståelse, men är samtidigt missvisande. Det är viktigt att förstå att materia inte kröker rummet utan rum-tiden. I områden med litet massinnehåll (som runt Jorden), dvs med svag gravitation, består rum-tidens krökning huvudsakligen av att tiden distorderas (vilket t ex visar sig i att atomuren på GPS-satelliterna måste justeras — se nedan). Själva rummets krökning är i detta fall i stort sett obefintlig.

Skalll vi vara riktigt petiga är det inte rum-tiden utan rum-tidens metrik som kröks. Metrik handlar om avstånd och det som förändras är således avstånden (både i tid och rum). I fallet GPS-satelliterna är det helt enkelt tidens metrik (dvs hur långt ett tidsintervall, t ex en sekund, är) som förändras.

Förutom geometriseringen av gravitationskraften finns en ytterligare viktig grundläggande princip i den allmänna relativitetsteorin, den s k ekvivalensprincipen. Denna säger att gravitation och acceleration är ekvivalenta. En observatör, som befinner sig i ett slutet rum utan möjlighet att mäta något annat än gravitation (och acceleration), kan inte genom någon mätning (hur sofistikerade mätinstrument han än har tillgång till) avgöra om han påverkas av gravitation eller befinner sig under acceleration. Det är ju så man tänker sig att lösa problemet med tyngdlöshet under långa rymdfärder (som kanske varar i åratal). Genom att låta rymdskeppet, som är lämpligt designat, rotera, skapar man en artificiell gravitation (rotation är en form av acceleration), och genom att välja lämplig rotationshastighet etc kan man få en gravitation som är lika med 1 g (dvs samma som på Jorden).

Allmänna relativitetsteorin ger i normalfallet (t ex fallande föremål på Jorden) i stort sett samma förutsägelser som Newtons teori (enligt vilken gravitationen är en kraft). Men Einsteins teori förutsäger också existensen av objekt och fenomen som Newtons teori inte kan handskas med. T ex existensen av extrema objekt som neutronstjärnor och svarta hål. Den förutsäger också vissa fenomen av mer "vardaglig" natur, vilka inte kan förklaras med Newtons gravitationsteori (storleken av Merkurius periheliumförskjutning, ljusets avböjning vid passage nära en stor himlakropp, rödförskjutning av ljus som sänds ut från massiva stjärnor, gravitationens påverkan på tiden etc, etc).

Enligt Einsteins allmänna relativitetsteori går tiden långsammare när gravitationen ökar. Ett praktiskt exempel på detta är GPS-satelliterna (det viktiga satellitnavigationssystem som används av bl a mobiltelefoner, flyg, sjöfart etc). Dessa satelliter har en bana på ca 20 000 km höjd. Där är gravitationen betydligt lägre än på jordytan (ca 1/4) och atomuren fortar sig med 45 μs (mikrosekunder) per dygn relativt jordytan. Samtidigt säger speciella relativitetsteorin att tiden går långsammare i förhållande till en observatör utanför systemet ju högre hastighet systemet har i förhållande till denna observatör. GPS-satelliterna rör sig med hastigheten ca 14 000 km/h (3,9 km/s), vilket enligt speciella relativitetsteorin gör att satellitens atomur drar sig efter med 7 μs/dygn (relativt en observatör på eller nära jordytan). Dvs den totala, relativistiska tidseffekten blir att atomuren på GPS-satelliterna fortar sig med 38 μs/dygn (45-7=38). Detta måste man ta hänsyn till i GPS-systemet. Satelliternas atomur justeras därför innan de sänds upp i sin bana, så att de drar sig efter med 38 μs/dygn. Väl uppe i sin bana kommer atomuren då att gå rätt. Atomuren justeras dessutom kontinuerligt från ännu noggrannare atomur på marken. GPS-systemets noggrannhet är helt beroende av att atomuren ombord går helt rätt (på nanosekunder när, dvs miljarddels sekunder). Skulle man inte ta hänsyn till de relativistiska effekterna, skulle det navigationsfel som systemet ger öka med 10 km per dygn. Efter 2 dygn skulle man således få ca 20 km fel i sin position (den optimala noggrannheten hos GPS-systemet är några centimeter).

Observera att det inte är klockorna, som genom några fysikaliska effekter saktar in när gravitationen ökar (t ex att den ökande gravitationen får klockornas mekanismer att gå långsammare), vilket är ett vanligt missförstånd. Enligt allmänna relativitetsteorin är det tiden själv som saktar in (klockorna avspeglar bara detta). Einsteins relativitetsteorier (den speciella och den allmänna) visar att tiden i viss mening är ett subjektivt begrepp. Tiden går olika fort för olika observatörer beroende på hastighet och gravitation. När gravitationen ökar saktar tiden in. På Solen, som har betydligt större gravitation än Jorden, sakter sig en klocka, med drygt 0,17 s/dygn, jämfört med en jordisk klocka dvs ca 62 s/år (då har vi bortsett från tidsdilationen på grund av den relativa hastigheten mellan Solen och Jorden, samt effekten av Solens och Jordens rotationer). I den ultimata gravitationen i ett svart hål har tiden saktat in så mycket att den står still (i ett svart hål har rum och tid bytt plats, dvs ett objekt i ett svart hål är fånge i rummet men kan röra sig fritt i tiden — problemet är att man inte kan tala om objekt i detta sammanhang, eftersom allt som försvinner in i ett svart hål krossas till en okänd kompakt "gröt", vars natur vi inte har någon som helst kunskap om). På jordytan blir tidsvariationerna på grund av olika gravitation på olika platser så små att de endast kan mätas med atomur men när det gäller satelliter i bana runt Jorden är dessa variationer (under dygn eller längre) således observerbara med konventionella klockor av hög precision.

Det finns många aspekter man kan lägga på tidsbegreppet. När man säger att tiden saktar in eller fortar sig enligt någon av relativitetsteorierna, menar man tid definierad på ett visst sätt. Denna typ av tid skulle vi kunna kalla fysikalisk tid. Är denna tid samma tid som den tid vi upplever och/eller den tid vi åldras i? Detta är ett mycket intressant fråga, men vi har tyvärr inte något otvetydigt svar här och utrymmet tillåter inte att vi går närmare in på detta.

Många människor betraktar Einsteins relativitetsteorier som ren dårskap. Teoretiska spekulationer som inte har något med verkligheten att göra. Jag kan i viss mån förstå det. Einsteins teorier säger många saker som bryter mot det som brukar kallas "sunt förnuft". Allmänna relativitetsteorin är emellertid en av fysikens mest bevisade teorier (just för att den säger så många "konstiga saker" har den undersökts extra noga). Alla förutsägelser den gör stämmer med observationer intill mätnoggrannheten. Läsaren bevisar f ö själv att allmänna relativitetsteorin är sann varje gång han eller hon använder sin GPS!

Tillbaka till Min Fysiksida

---

[1] Gravitoner.
[2] Ett föremål som bara påverkas av gravitation betraktas alltså här som fritt, eftersom gravitationen inte är en kraft enligt allmänna relativitetsteorin. De två övriga krafterna är elektrosvag och stark växelverkan.
[3] Storcirkeln från Stockholm till Los Angeles går t ex över nordpolen.