"Godhet utan vishet och utan
gränser är bara en annan
form av ondska."
(John Paterson)

"Det är synd att 99% av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
(Okänd)

"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
(Artur Lundkvist)

"När försiktigheten finns överallt,
finns modet ingenstans."
(den belgiske kardinalen Mercier)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(Hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

Kortfattat om allmän relativitetsteori

Den speciella relativitetsteorin kan handskas med (studera) accelererade objekt medan den inte klarar av observatörer som själva är accelererade. Sådana observatörer är i speciella relativitetsteorin en slags andra rangens observatörer, eftersom man måste införa virtuella krafter (pseudokrafter; centrifugalkraft, corioliskraft etc) för att deras observationer skall vara kompatibla med fysikens lagar. Efter att Einstein var klar med den speciella relativitetsteorin ville han därför generalisera denna teori till att inkludera accelererade observatörer. Einstein kom då att tänka på ekvivalensprincipen, enligt vilken acceleration och gravitation i viss mening är ekvivalenta (denna princip diskuteras närmare i texten nedan). Detta hugskott kallade Einstein senare för "sitt livs mest lyckade idé". Ekvivalensprincipen gjorde att Einstein insåg att hans generaliserade teori både måste kunna handskas med acceleration och gravitation. Något som ledde fram till hans största skapelse, den allmänna relativitetsteorin.

Alla objekt som innehåller massa påverkar varandra med den s k gravitationskraften (tyngdkraften — ibland används uttrycket gravitationell växelverkan). Gravitationen, som alltid är attraktiv, är en av de tre naturkrafterna (de övriga två är stark kraft och elektrosvag kraft — se min artikel om Standardmodellen). All växelverkan mellan objekt i vårt universum sker genom dessa tre naturkrafter och några ytterligae krafter ingår inte i den moderna fysikens modeller (det finns dock vissa indikationer på att det möjligen skulle kunna finnas en ytterligare naturkraft, men om den existerar så är den under alla förhållanden så svag att den endast spelar någon roll i mycket speciella sammanhang). Gravitationen blir starkare ju större massorna är och ju närmare varandra de befinner sig. Fenomenet gravitation kan beskrivas med hjälp av två olika modeller (teorier):

1. Som ett fält — Newtons klassiska modell — eller som växelverkan via kraftpartiklar[1] — det moderna kvantfältperspektivet. I båda dessa fall betraktar man gravitationen som en av de tre naturkrafterna.

2. Utifrån en krökt rum-tid, där fria objekt — dvs föremål som inte påverkas av de två övriga krafterna[2] — rör sig längs s k geodetiska linjer. En geodetisk linje ger det kortaste avståndet mellan två punkter.

I den klassiska fysiken är normalt kortaste avståndet mellan två punkter en rät linje, dvs geodetiska linjer består i den klassiska fysiken av räta linjer. Fria kroppar (dvs kroppar som inte påverkas av några krafter) rör sig, enligt den klassiska fysiken, med konstant hastighet, dvs bibehåller fart och riktning, och rör sig således längs en rät linje med konstant fart.

Vad är det då som orsakar rummets eventuella krökning? Jo, enligt Einsteins gravitationsteori påverkar materiella objekt rummets geometri, så att rummet, eller snarare rum-tiden (eftersom rum och tid är jämställda), blir mer eller mindre krökt, beroende på objektets densitet, storlek och form. Maximal krökning får man vid s k svarta hål. I tomma rymden är rum-tiden icke-krökt, dvs plan. I en krökt rum-tid (som således kröks av materiella objekt) är inte längre geodetiska linjer ekvivalenta med räta linjer, dvs fria objekt (som enbart påverkas av gravitation — gravitationen är ju ingen kraft i detta perspektiv) kan således röra sig i en krökt bana. Detta är den allmänna relativitetsteorins grundperspektiv. En tvådimensionell analogi ges av den krökta jordytan, där de geodetiska linjerna utgörs av storcirklar vilka på en vanlig karta är mer eller mindre krökta kurvor.[3]

Bilden visar en verklig rutt för en flygning mellan Punta Cana (Dominikanska Republiken) och Moskva, utritad på en vanlig karta. Huvudsakligen så följer man en storcirkel (GC), men avvikelser kan förekomma på grund av att man i vissa områden måste följa s k luftleder (airways). Väljer man att i stället flyga längs räta linjen (enligt kartan — kallas loxodromen och betecknas här med LO), så blir distansen betydligt längre (loxodromen kännetecknas av att man hela tiden håller en och samma kompasskurs, dvs vinkeln i förhållande till meridianerna är konstant). Storcirkeldistansen blir 4988 nm (1 nautisk mil = 1852 m) medan loxodromdistansen är 5344 nm. Man tjänar således 356 nm på att följa storcirkeln (ca 45 minuters flygtid). Fartyg som korsar Atlanten från Nordeuropa till USA eller tvärtom vinner omkring ett dygn på att följa storcirkeln.

I allmänna relativitetsteorin har man således transformerat bort gravitationen som kraft betraktad. Orsaken till att en kastad boll mellan A och B rör sig längs en parabel är i detta perspektiv inte att den påverkas av någon kraft, utan att jordmassan åstadkommer en krökning av rum-tiden. Bollen, vilken betraktas som en fri kropp (utan påverkan av yttre krafter), rör sig längs den geodetiska linjen (genaste vägen) i den fyrdimensionella rum-tiden mellan A och B. Projektionen av denna fyrdimensionella kurva i det vanliga tredimensionella rummet är den välkända kastparabeln. Jordens rörelse runt Solen eller Månens rörelse runt Jorden, tidvattnet etc orsakas således inte av någon kraft, utan av att rummet runt Solen respektive Jorden är mer eller mindre krökt.

Einsteins gravitationsteori innebär med andra ord att man geometriserar bort gravitationen som kraft. Detta är möjligt, eftersom gravitionen är en "allmän kraft". Med detta menas att gravitationen påverkar alla objekt i rum-tiden, eftersom alla objekt har massa (även energi har massa enligt Einsteins berömda formel E=mc²). Detta till skillnad från t ex elektrisk och magnetisk kraft, vilka endast påverkar de objekt som är elektriskt laddade respektive som själva är magneter (eller snarare som har en elektrisk nettoladdning skild från noll respektive ett totalt magnetfält skilt från noll).

Den klassiska fysikens grundläggande samband ges av Newtons tre rörelselagar plus Newtons gravitationslag. Kvantmekanikens grundläggande samband ges av Schrödingerekvationen (klicka här för en närmare diskussion om denna lag — använd webbläsarens sökfunktion för att hitta). Den allmänna relativitetsteorins grundläggande samband ges av denna teoris s k fältekvationer (också kallade Einsteins fältekvationer). Dessa kan sammfattas i formeln (i sin enklaste form):

Denna formel ser väldigt simpel ut. Det ser ut som att vi har en enda enkel ekvation. Skenet bedrar dessvärre, eftersom G_μν (som kallas Einsteintensorn) och T_μν (som kallas stress-energitensorn) är tensorer (en utvidgning av vektorbegreppet — se förklaring i de indragna styckena nedan), där μ (my) och ν (ny) kan antaga värdena 0, 1, 2 och 3, dvs formeln består i själva verket av 16 olika ekvationer (G₀₀, G₀₁... G₃₃ och analogt för T_μν). Skriver vi ut alla delekvationerna får vi:

Ovan ser vi de tre första och den sista delekvationen av de 16 fältekvationerna. Utav dessa 16 ekvationer är endast 10 ekvationer oberoende av varandra (resten är beroende, eftersom μ och ν kan byta plats, dvs G_ab = G_ba och T_ab = T_ba). Dessa 10 ekvationer utgör andra ordningens, icke-linjära, partiella differentialekvationer och att lösa dessa är en monumental uppgift. Eftersom vi kan välja vårt koordinatsystem (var vi vill placera origo och riktningen på axlarna) kan antalet oberoende ekvationer reduceras till 6, vilket är goda nyheter, även om problemet fortfarande är monumentalt (men kanske mindre monumentalt än om vi hade haft 16 oberoende ekvationer). Man kan bara hitta exakta lösningar (analytiska lösningar) i fall med speciella symmetrier, eftersom sådana gör att antalet oberoende ekvationer kan reduceras ytterligare plus att själva ekvationerna blir enklare.

Einstein själv hittade bara några enkla lösningar till allmänna relativitetsteorins fältekvationer, genom att linearisera dessa ekvationer (vilket innebar en stor förenkling). På så sätt kunde han teoretiskt förutsäga Merkurius perihelimumförskjutning och ljusets gravitationella avböjning (den senare är mycket svag och kan bara mätas när ljus från stjärnor passerar nära stora massor som Solen). Periheliumförskjutningen hos Merkurius hade astronomerna redan mätt och dessa mätta värden visade sig stämma väl överens med allmänna relativitetsteorins teoretiska förutsägelser inom felmarginalen. Stjärnljusets avböjning nära Solen kan bara mätas vid total solförmörkelse (av uppenbara skäl) och det dröjde några år tills en sådan inträffade. Mätningarna, som gjordes av den berömde brittiske astrofysikern Arthur Eddington, var helt i enlighet med Einsteins teori (inom mätnoggrannheten). Klicka här för att läsa mer om de olika mätningar som bekräftar allmänna relativitetsteorins förutsägelser (använd webbläsarens sökfunktion för att hitta — sök t ex på "perihelium")!

Även Newtons gravitationsteori förutsäger en avböjning av ljus som passerar nära solen. Men denna klassiska avböjning är bara hälften så stor som det av allmänna relativitetsteorin förutsagda och av Eddington uppmätta värdet. Newtons gravitationsteori fungerar utmärkt i vardagliga situationer här på jorden men ger således helt felaktiga värden när det gäller ljusets avböjning nära solen och många andra kosmiska fenomen där extrem gravitation är inblandad.

Fysiker och matematiker har under årens lopp hittat ett antal analytiska lösningar (dvs exakta lösningar) till fältekvationerna. Den första gjordes 1915 av den tyske fysikern Karl Schwartzschild (Einsteins teori publicerades 1916 så jag antar att Schwartzschild hade tillgång till någon preprint) och gällde ett enkelt fall med en icke-roterande eller långsamt roterande, sfäriskt symmetrisk massa (vilket förenklade problemet avsevärt). Denna lösning (ofta kallad Schwartzschildmetrik) visade att om massan i en kropp komprimeras mer och mer till en viss radie (kallad Schwartzschildradien), vilken är propotionell mot massan, så kollapsar kroppen till ett objekt med så extrem gravitation att inte ens ljus kan lämna denna kropp (dvs objektet kommer att se helt svart ut). Sådana objekt kom senare att få namnet svarta hål (termen "svart hål" myntades 1968 av fysikern och nobelpristagaren John Wheeler). För att Jorden med sin massa 5,97⋅10²⁹ kg skall bli ett svart hål, måste planeten krympa till en radie på 9 mm! Motsvarande för Solen är 2,9 km (observera att dessa svarta hål kommer att ha samma massa som Jorden respektive Solen trots att radien bara är 9 mm respektive 2,9 km, dvs densiteten kommer att vara enorm). Varken Jorden eller Solen kan emellertid bli svarta hål. De är helt enkelt för små (när Solen om flera miljarder år har brunnit ut, kommer den i stället att kollapsa till en vit dvärgstjärna). Minimimassan för att ett svart hål skall bildas är ca 3 solmassor och ett typiskt svart hål på 10 solmassor har en radie på 29 km. Det svarta hål som finns i Vintergatans centrum har en massa på 4 miljoner solmassor och har radien 11,6 millioner km (ungefär 20 gånger Solens radie). Till en början var svarta hål teoretiska artefakter och många fysiker tvivlade på deras existens. I början av 1970-talet observerades de första svarta hålen och idag är svarta hål ett vardagsbegrepp inom astronomin.

1922 kom den ryske fysikern Alexander Friedmann med en ytterligare exakt (analytisk) lösning till fältekvationerna. I sin lösning förutsätter han ett universum som är homogent och isotropt. Homogent innebär att universum har samma massfördelning överallt. Och isotropt betyder att universum är identiskt lika oavsett i vilken riktning man observerar det. Småskaligt stämmer inte detta antagande (planeter, stjärnor, galaxer etc utgör inhomogeniteter), men storskaligt kan universum betraktas som nästan homogent och isotropt. Friedmanns lösning kom att kallas "den expanderade universum lösningen", eftersom den förutsäger ett expanderande universum. Detta ledde den belgiske prästen och fysikern George Lemaître till att formulera bigbangteorin, som idag utgör grunden för vår kosmologiska världsbild. Lemaître utgick, under sitt arbete med bigbangteorin, från Friedmanns lösning av Einsteins fältekvationer. Friedmanns arbete handlade emellertid om ett teoretiskt universum medan Lemaître tillämpade Friedmanns lösning på vårt verkliga, fysiska universum.

Att hitta analytiska lösningar (där man med hjälp av matematikens regler och teorier hittar exakta lösningar) till Einsteins fältekvationer är som sagt mycket svårt och kan ta åratal eller till och med vara en livsuppgift. Eftersom ekvationerna är icke-linjära, är det (såvitt vi vet idag) omöjligt att någonsin hitta en generell, analytisk lösning (som kan uttryckas i en eller flera formler). De analytiska lösningar som hittats handlar om förenklade specialfall, där man antagit olika typer av symmetrier (som beskrivits ovan). Fältekvationerna kan också lösas numeriskt (dvs approximativa lösningar som görs med datorer, eller snarare superdatorer). Även detta är mycket, mycket svårt. Förmodligen innehåller allmänna relativitetsteorins fältekvationer ytterligare lösningar som vi ännu inte hittat och som kanske kommer att förändra vår världsbild ännu ett steg (klicka här för att läsa mer om analytiska och numeriska lösningar till ekvationer och differentialekvationssytem — första avsnittet i artikeln).

Vid analytiska lösningar av differentialekvationer (som det handlar om här) får vi svaret i form av exakta matematiska uttryck (formler). Genom dessa uttryck kan vi ser hur lösningen varierar när olika parametrar varierar. Vid numeriska lösningar får man svaret i form av siffror, vilka kan presenteras i tabeller eller som grafer. Dessa siffror är inte exakta men felet hos dem kan beräknas, varför de blir användbara när det gäller att jämföra teori och mätningar.

Men låt oss nu återvända till Einsteins fältekvationer och titta lite närmare på dem rent matematiskt för att få en bättre förståelse av vad en tensor är (den matematiskt ointresserade läsaren kan hoppa över de indragna styckena nedan).

Ordet tensor är relaterat till det engelska ordet "tension", vilket betyder spänning, stress (i detta sammanhang avses mekaniska spänningar vid belastning av metallkonstruktioner och liknande). En av de första tillämpningarna av tensorer var just studiet av spänningar i metallbalkar.

En skalär är en fysikalisk storhet som endast har "storlek" och som kan karakteriseras av ett enda tal, t ex energi och temperatur. En vektor är en fysikalisk storhet som både har storlek och riktning, t ex hastighet och kraft. På högstadiet och gymnaiset representeras vektorer i det två- och tredimensionella rummet) av pilar, vars riktning anger vektorns riktning och vars längd är proportionell mot storleken. På en högre nivå anges tredimensionella vektorer med taltripletter, typ F=(F_x, F_y, F_z). F_x är vektorns komposant i x-led etc. I samband med rum-tiden innehåller vektorerna 4 komposanter, där den fjärde är kopplad till tiden (vektorer uttryckta som taltripletter avhandlas närmare i inledningen till min artikel Fysik för fotgängare).

Vissa fysikaliska storheter är mer komplexa än skalärer och vektorer. Dessa representeras av tensorer. Ett exempel på en fysikalisk storhet som är en tensor är stresstensorn, vilken anger stress i t ex en balk (i ett snitt av balken). Här räcker det inte med tre komposanter, eftersom stress består av två skjuvkrafter (rörelse i sidled) och en tryckkraft. Stress är således ingen vektor utan måste representeras av tre krafter med tre komposanter vardera, vilket tillsammans blir 9 komposanter. För detta krävs en tensor. En sådan skrivs som en matris. I det tredimensionella fallet får vi en 3x3-matris, med 3 rader och 3 kolumner (ofta säger man kolonner i stället för kolumner), vilken kan se ut så här:

F_ab betyder således tensorelementet i rad a och kolumn b, dvs F₂₃ är elementet i rad 2 och kolumn 3 etc. Elementet i övre vänstra hörnet har index 11. I fallet stresstensorn (eller generellt tensorer som representerar krafter) ges de tre krafterna av de tre kolumnerna, dvs den första kraften är F₁=(F₁₁, F₂₁, F₃₁), där F₁₁ är F₁:s x-komposant etc.

Observera att tensorn ovan inte består av tre separata vektorer (de tre kolumnerna), oberoende av varandra! De stresskrafter som verkar i ett tvärsnitt av en balk utgör en helhet, där delarna är kopplade till varandra. Roterar man t ex det koordinatsystem i vilket stresskrafterna representeras så påverkas alla tre stresskrafterna. Motsvarande gäller generellt för tensorer (se också stycket nedan som börjar "Observera att vad...").

Einsteintensorn har följande utseende:

Arbetar vi i stället i den fyrdimensionella rum-tiden kommer tensorerna att vara av typ 4x4, dvs ha fyra rader och 4 kolumner. I Einsteins fältekvationer numreras, som vi sett ovan, rader och kolumner från 0 till 3, dvs G₁₃ är G-komposanten i rad 1 (som i detta fall är andra raden, eftersom första raden anges med siffran 0) och i kolumn 3 (som här är fjärde kolumnen, eftersom kolumn 3 är sista kolumnen).

Elementen i en tensor kan vara tal eller funktioner (som i Einsteins fältekvationer) eller andra matematiska objekt. Tensornotation (att sammfatta multipla storheter till en enhet) gör att oehört komplexa samband kan sammanfattas i kortfattade och översiktliga formler. Att lösa tensorekvationer kan vara väldigt bökigt men den kompakta notationen gör att man som fysiker snabbt kan få en övergripande förståelse för oerhört komplicerade samband. Tensorer används förutom i allmänna relativitetsteorin inom mekaniken (ovannämnda stresstensorn), flödesdynamik, elektrodynamik, kvantmekanik med mera. Läsaren är redan familjär med skalär- och vektorfält. Temperaturen på jordytan utgör t ex ett skalärfält — i varje punkt på jordytan har temperaturen (som är en skalär) ett värde. Gravitationen runt Jorden utgör ett vektorfält (gravitationskraften har ju både storlek och riktning). På samma sätt finns det tensorfält (som i allmänna relativitetsteorins fältekvationer). När det gäller mekanisk stress (t ex i en balk) så varierar stresstensorn från punkt till punkt, dvs utgör ett fält. Tensorfält är oerhört vanliga i fysiken och ofta säger man bara tensor. Tensorbegreppet kan låta väldigt avancerat och kan också vara det, men förekommer också på grundläggande kurser på tekniska högskolor. Jag undervisade några år på KTH i Stockholm på en kurs för tekniska fysiker som hette "Vektoranalys och tensoranalys" (eller något liknande). Civilingenjörer inom vissa områden arbetar mycket med hållfasthetslära och där ingår att ha grundläggande förståelse för detta med stress. Och tensorer är det enklaste och mest naturliga sättet att göra stressanalyser.

Tensorer är en utvidgning av skalärer. Tensorerna i figurerna ovan är tensorer av andra rangen och sådana tensorer kan representeras av 2-dimensionella matriser. Det finns också tensorer av högre ranger. En tensor av tredje rangen representeras av en 3-dimensionell matris, där vi förutom rader och kolumner har lager (typ 3x3x3). En vektor är helt enkelt en tensor av första rangen (kan skrivas som en endimensionell matris) och en skalär är en tensor av nollte rangen (ungefär som att en punkt är nolldimensionell). Rangen av en tensor är kopplad till antalet index som behövs för att ange tensorns element. I en skalär behövs inga (dvs noll) index, eftersom en skalär består av ett enda tal. Således har skalärer rangen noll. För vektorer krävs ett index (typ F_a), dvs vektorer har rangen lika med ett. Och för tensorer av andra rangen krävs två index (typ F_ab). I tredje rangens tensorer har elementen formen F_abc, etc.

Observera att vad som är skalär, vektor eller tensor inte är godtyckligt. Vilka tre tal eller funktioner som helst är inte en vektor. Taltripletten (45, 189, 5) skulle kunna vara en vektor men det går inte att veta om vi inte vet vad dessa tre tal står för (de är i själva verket mitt skonummer, min kroppslängd och antalet lådor i hurtsen till höger om mitt skrivbord — denna taltriplett är defintivt ingen vektor utan är bara en meningslös kombination av tre tal). Vad som fysikaliskt sett är skalär, vektor eller tensor är inte godtyckligt utan är klart definierat utifrån hur dessa matematiska objekt transfomeras mellan olika koordinatsystem. För att en fysikalisk storhet skall vara en skalär måste den transformeras på ett visst sätt när man byter koordinatsystem. Etc.

I föreliggande artikel talar vi om skalärer, vektorer och tensorer utifrån ett fysikaliskt perspektiv. Här handlar det om skalärer etc som representerar den fysikaliska verkligheten vilken har vissa, givna egenskaper som de matematiska representationerna måsta avspegla. Tensorbegreppet utvecklades på 1890-talet av matematiker (bl a Ricci) och hade då ingen koppling till verkligheten, utan handlade om definitioner och algebraiska regler etc. Så småningom upptäckte fysikerna att tensorer var användbara för att representera vissa fysikaliska storheter. När Einstein i början av 1910-talet började arbeta med sin allmänna relativitetsteori insåg han snabbt att han inte hade de matematiska verktyg han behövde för att uttrycka sina tankar. Som tur var hade han en nära vän som hette Marcel Grossmann. Denne var matematiker och hade varit studiekamrat med Einstein. Grossmann arbetade bl a med differentialgeometri (där tensorer har en central roll) och när Einstein förklarade vilken typ av matematik han behövde, kunde Grossmann tipsa honom om att han borde testa att formulera sin teori i tensorer. Vilket visade sig vara ett gott råd. Inledningsvis fick Einstein en hel del konkret hjälp av Grossmann. Vilket inte på något sätt förringar Einsteins roll när det gäller utvecklandet av allmänna relativitetsteorin. Grossman hade förmodligen inte kunnat komma på allmänna relativitetsteorin själv. Man kan säga att Grossmann introducerade Einstein till det verktyg han behövde för att kunna utveckla sin teori.

Differentialgeometri är en matematisk disciplin som studerar geometrin hos släta ytor och rum (smooth manifolds). Inom differentialgeometrin använder man metoder från matematisk analys (deriveringar etc), dvs man uttrycker geometrin i analysens språk. Tensorer utgör den formalism i vilken differentialgeometrin uttrycks.

Derivata utgör ett mått på förändring hos någon fysisk storhet. T ex ett objekts rumskoordinater, där första derivatan med avseemde på tiden (förändringen av rumskoordinaterna med avseende på tiden), är lika med objektets hastighet medan andraderivatan (derivatan av derivatan) med avseende på tiden är ett mått på förändringen av hastigheten, vilket helt enkelt är lika med objektets acceleration. Derivatan av ett fält, t ex ett elektriskt eller gravitationellt fält, visar hur detta fält förändras (varierar). Man kan ta derivatan med avseende på tiden och får då hur fältet förändras per sekund. Eller man kan ta derivatan med avseende på någon rumskoordinat (x, y, z) och ser då hur fältet förändras när man förflyttar sig längs denna koordinat. Om det som studeras är konstant, dvs inte förändras när man förflyttar sig i koordinaterna x, y, z och t, är derivatan med avseende på dessa koordinater lika med noll. I ett krökt rum blir den vanliga derivatan problematisk, eftersom vi då har olika metrik för rum och tid i olika punkter. Dvs även om ett fält är konstant så kommer derivatan av fältet, när vi förflyttar oss mellan olika rums- och tidpunkter, att vara skild från noll. Inte för att fältet varierar utan för att rummets metrik varierar. Därför måste man i krökta rum, för att derivatan skall vara ett meningsfullt begrepp, kompensera bort de förändringar som beror på själva rummets variationer. En typ av derivata som används i detta fall kallas kovariant derivata. Denna tar hänsyn till rummets krökning och filtrerar bort de förändringar i fältet som beror på förändringar i rum-tidens metrik. Denna typ av derivata visar således, till skillnad från den vanliga derivatan, nettoförändringarna i själva fältet.

Precis som att det finns vanlig algebra (hur man manipulerar matematiska uttryck innehållande tal, vilka kan men inte behöver vara skalärer — jag talar här om fysikaliska tillämpningar av matematiken) och analys (som handlar om funktioner av tal och deras derivator och integraler) så finns det vektoralgebra (här får man lära sig hur man adderar och multiplicerar etc vektorer) och vektoranalys (här får man lära sig hur man deriverar och integrerar etc vektorfunktioner) och motsvarande för tensorer; tensoralgebra och tensoranalys.

Termen på vänster sida om likhetstecknet i fältekvationerna kallas, som nämnts ovan, Einstein-tensorn (G_μν), vilken uttrycker gravitationseffekten genom krökningen av rum-tiden medan termen på höger sida uttrycker energin och rörelsemängden hos materien (dvs ger information om den lokala materiefördelningen). T_μν kallas stressenergitensorn och G är Newtons gravitationskonstant och c ljushastigheten i vakuum. Fältekvationerna ger helt enkelt sambandet mellan massinnehållet i en del av universum och rum-tidens lokala krökning där (som ger upphov till det vi kallar för gravitation). Fysikern och nobelpristagaren John Archibald Wheeler sammanfattade en gång fältekvationerna på följande sätt, "Rum-tiden talar om för materien hur den skall röra sig och materien talar om för rum-tiden hur den skall kröka sig". Dvs vi har ett ömsesidig relation mellan materia och krökning.

När man försöker förklara allmänna relativitetsteorin pedagogiskt använder man ofta ett spänt gummimembran på vilket man lägger en tung kula, som ger upphov till en "grop" i membranet. Seden låter man en lättare kula rotera runt den tyngre kulan. Den hålls kvar i sin rotation på grund av att den inte har tillräckligt med energi för att ta sig ur "gropen". Denna modell har en del kvaliteter och ger en viss förståelse, men är samtidigt missvisande. Det är viktigt att förstå att materia inte kröker rummet utan rum-tiden. I områden med litet massinnehåll (som runt Jorden), dvs med svag gravitation, består rum-tidens krökning huvudsakligen av att tiden distorderas (vilket t ex visar sig i att atomuren på GPS-satelliterna måste justeras — se nedan). Själva rummets krökning är i detta fall i stort sett obefintlig.

Skalll vi vara riktigt petiga är det inte rum-tiden utan rum-tidens metrik som kröks. Metrik handlar om avstånd och det som förändras är således avstånden (både i tid och rum). I fallet GPS-satelliterna är det helt enkelt tidens metrik (dvs hur långt ett tidsintervall, t ex en sekund, är) som förändras.

Förutom geometriseringen av gravitationskraften finns en ytterligare viktig grundläggande princip i den allmänna relativitetsteorin, den s k ekvivalensprincipen. Denna säger att gravitation och acceleration är ekvivalenta. En observatör, som befinner sig i ett slutet rum utan möjlighet att mäta något annat än gravitation (och acceleration), kan inte genom någon mätning (hur sofistikerade mätinstrument han än har tillgång till) avgöra om han påverkas av gravitation eller befinner sig under acceleration. Det är ju så man tänker sig att lösa problemet med tyngdlöshet under långa rymdfärder (som kanske varar i åratal). Genom att låta rymdskeppet, som är lämpligt designat, rotera, skapar man en artificiell gravitation (rotation är en form av acceleration), och genom att välja lämplig rotationshastighet etc kan man få en gravitation som är lika med 1 g (dvs samma som på Jorden). En annan lösning skulle kunna vara att man hela tiden accelererar rymdskeppet med 1 g och när man är halvägs vänder rymdskeppet och bromsar in med 1 g.

Ekvivalensprincipen utgör i själva verket utgångspunkten för den allmänna relativitetsteorin. Einstein ville skapa en teori som, till skillnad från den speciella relativitetsteorin, inkluderar gravitationen och insåg tidigt att det det fanns en ekvivalens mellan gravitation (som är en kraft) och acceleration (som åstadkoms av krafter). Detta avspeglas tydligt i de olika tröghetskrafterna; centrifugalkraft, accelerationskraft, Corioliskraft etc. Eftersom alla objekt påverkas av gravitationen, insåg han att det skulle vara möjligt att geometrisera gravitationen och ställa upp ett matematiskt samband mellan den lokala gravitationen och hur denna påverkar objekt i den omkringliggande rum-tiden genom att låta rum-tiden variera (krökas). Genom att rum-tiden kröks kan objekt fås att accelerera utan några existerande krafter (vid normala styrkor på gravitationsfältet är det huvudsakligen tiden som "kröks" — se diskussionen om GPS-satelliter nedan). Einstein började därför leta efter en geometri i vilken rörelsen av en fri partikel (som inte påverkas av några krafter) är ekvivalent med rörelsen av en partikel som påverkas av gravitation i ett icke krökt rum. En sådan geometri måste ha en metrik som varierar från punkt till punkt och avspeglar den lokala gravitationen. Einsteins nära vän, matematikern Marcel Grossmann, tipsade honom, vilket redan diskuterats ovan, om att differentialgeometri (som kan beskriva rum med varierande metrik) nog skulle vara det rätta verktyget, vilket det också visade sig vara. Grossmann var specialist på detta område av matematiken, så man kan säga att Einstein hade tur här. Förmodligen fick Einstein initialt en del hjälp av Grossmann, så att han kom igång. Detta ledde så småningom fram till Einsteins fältekvationer vilka, som diskuterats ovan, ger ett matematiskt samband mellan massinnehållet i en lokal del av universum och rum-tidens lokala krökning där, samtidigt som de ger ett matematiskt samband mellan rum-tidens krökning och materiella objekts rörelse. Det finns fysiker, en av dem är jag, som klassar Einsteins arbete med fältekvationerna som en av mänsklighetens största intellektuella bedrifter.

Låt oss nu betrakta en annan aspekt på ekvivalensprincipen. Materia ("massa" betyder "mängd materia" — materia är således konceptet medan massa är mängden av detta koncept) kännetecknas av två egenskaper; tyngd och tröghet.

Tyngd utgör ett mått på hur materia påverkas i ett gravitationsfält (kallas tyngdkraft). I ett homogent gravitionsfält (fältet har då samma styrka överallt) ges tyngdkraften F_g av F_g=mg, där m är massan och g tyngdaccelerationen. Den senare beror på den kropp som attraherar massan (på jordytan, där gravitionen är approximativt konstant, är tyngdaccelerationen ca 9,8 m/s²). På Jupiters "yta" är tyngdaccelerationen 25,8 m/s². Tyngdaccelerationen avtar med avståndet i kvadrat till den attraherande kroppens medelpunkt, dvs ju högre man befinner sig över jordytan, desto svagare blir gravitationen. Observera att massan för ett objekt är densamma, oavsett gravitationsfält, dvs ett föremål har samma massa (mängd materia) på jorden som på Jupiter, vilket är ganska självklart. En fjädervåg mäter tyngdkraften och kommer att ge olika resultat i olika tyngdkraftfält. På en fjädervåg har man räknat om tyngdkraft till massa och skalan på fjädervågen visar massan direkt (medan vågen mäter tyngdkraften på föremålet som vägs). En fjädervåg fungerar således endast i det gravitationsfält den är kalibrerad för. En balansvåg kommer att visa korrekt massa oavsett gravitationsfält, eftersom en enkilosvikt uppenbarligen kommer att balansera ett föremål som väger ett kilogram oavsett gravitationsfältet. En balansvåg kan således användas på alla planeter och samma uppsättning vikter fungerar överallt. Förutsättningen är att det finns gravitation. Dvs i tyngdlöst tillstånd är både balansvåg och fjädervåg oanvändbara.

En liten distinktion. Ett föremåls vikt är ett mått på ett föremåls massinnehåll. Vikten är samma överallt i universum och oberoende av lokala gravitationsfälts styrka. Ett föremåls tyngd är tyngdkraften som verkar på ett föremål som befinner sig i ett gravitationsfällt. Tyngden varierar med det lokala gravitationsfältets styrka (ovan har visats relationen mellan vikt och tyngd). Ute i tomma rymden, är tyngden t ex noll. Vikt mäts i kilogram medan tyngd är en kraft och mäts i newton. I vardagslag blandar man ofta ihop dessa två och uttrycker tyngd i kilogram.

Newtons gravitationslag ser ut så här:

F_g är gravitationskraften mellan de två sfäriska massorna m₁ och m₂, där avståndet mellan massornas medelpunkter är r (för enkelhets skull utgår vi från att massorna är sfäriska). G kallas Newtons gravitationskonstant och det gäller att G ≈ 6,7⋅10^-11 m³ kg^-1s^-2. Gravitationskraften är således proportionell mot massornas produkt och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan deras medelpunkter, dvs fördubblas avståndet blir gravitationskraften en fjärdedel etc. Antag nu att den ena massan är jordens massa, som vi kallar M och den andra massan är ett föremål med massan m, som befinner sig på jordytan. Avståndet mellan m och jordens medelpunkt blir då lika med jordradien som vi kallar R (vi bortser här från föremålets radie som i alla praktiska fall är försumbar jämfört med R). Vi får då sambandet

Vi ser här att på jordytan så är gravitationskraften på ett objekt lika med objektets massa (m) gånger en konstant (GM/R²). Vi sätter denna konstant lika med g. Denna konstant kallas tyngdaccelerationen (eftersom den har samma enhet som acceleration, dvs m/s²). Sätter vi nu in gravitationskonstanten G, jordens massa M och jordens radie R i g=GM/R², blir g ≈ 9,8 m/s² (för andra planeter etc blir resonemanget analogt). F_g i den sista formeln ovan är den gravitationella kraften på ett föremål med massan m på jordytan (eller någon annan himlakropps yta) och kallas ofta tyngdkraften. Det hela är dock lite mer komplicerat än så. Eftersom jorden inte är en exakt sfär och dessutom roterar, kommer tyngdkraften att variera. På grund av jordrotationen blir jorden utdragen så att ekvatorsradien är lite större än polradien, varför ett föremål vid ekvatorn befinner sig längre bort från jordens medelpunkt jämfört med ett föremål norr eller söder om ekvatorn. Dessutom ger jordrotationen en centrifugalkraft som motverkar gravitationskraften. Centrifugalkraften är som störst vid ekvatorn (eftersom rotationsradien där är störst). Dessa två effekter samverkar. Tyngdkraften är således summan av gravitationskraften (enligt formeln ovan) och effekterna av jordrotationen. Summa summarum blir att tyngdaccelerationen, och därmed tyngdkraften, varierar beroende på latituden och även på lokala gravitationsanomalier på jordytan (t ex stora malmkroppar under marken — som kan ha en massa på miljontals ton). Tyngdaccelerationen är som minst på ekvatorn (ca 9,78 m/s²), på grund av att ekvatorsradien är större än polradien plus att centrifugalkraften, som motverkar tyngdkraften, är som störst vid ekvatorn. Och den är som störst vid polerna (ca 9,83 m/s²) av motsatta skäl.

Tröghet utgör ett mått på ett föremåls motstånd mot rörelseförändring, dvs motstånd mot acceleration. Tröghet och acceleration är med andra ord kopplade till varandra (på samma sätt som tyngd och gravitation är kopplade till varandra). Detta uttrycker sig i att det tar en stund innan tunga objekt som utsätts för en kraft "kommer igång" och när kraften upphör så fortsätter föremålet att röra sig. Tröghet, som beror på massan, är helt enkelt motstånd mot rörelseförändring. Ju större massa, desto större tröghet. Om friktion saknas (som i rymden) fortsätter ett föremål att röra sig rakt fram med konstant fart i evighet, eller tills det stöter emot något annan föremål eller påverkas av ett gravitationsfält etc. Observera att acceleration är en vektor, dvs har både storlek och riktning. Dvs acceleration innebär inte bara förändring av hastighetens storlek utan kan också innebära förändring av dess rörelseriktning (för att ändra riktning krävs således en kraft). Om föremålet påverkas av olika typer av friktion avtar rörelsen (eftersom rörelseenegi då omvandlas till värmeenergi, turbulens etc) och när all rörelseenergi omvandlats är föremålets hastighet noll (ute i rymden är all rörelse relativ, dvs måste relateras till något, vilket komplicerar det hela — för enkelhets skull kan vi tänka oss föremål som rör sig på jordytan). Sammanfattningvis så gäller att ett föremål som påverkas av kraftresultanten (summan av alla krafter är) noll bevarar sitt rörelsetillstånd, dvs fortsätter rakt fram med konstant fart. Detta kallas tröghetslagen. Sambandet mellan accelerationskraft F_a, massa m och accelerationen a är F_a=ma, under förutsättning att massan är konstant.

Antag nu att en rymdfarare, som befinner sig i tyngdlöst tillstånd, plockar in en meteorit i sin rymdfarkost och vill bestämma densiteten för den. Volymen är enkel att mäta. Men hur kan man "väga" meteoriten när det inte finns någon tyngdkraft? Jo man kan utsätta meteoriten för en kraft och se hur stor accelerationen blir. Känner vi F_a och a i formeln ovan, kan vi räkna fram m (m=F_a/a).

Vi har således två samband ovan:

F_g=m_gg       (a)
F_a=m_ta       (b)

där m_g står för den gravitationella massan och m_t för den tröga massan. Det är nämlingen inte självklart att dessa två massor är lika. Den första formeln talar om med vilken kraft ett föremål med massa m_g påverkas i ett givet gravitationsfält (med tyngdacceleration g). Den andra formeln anger hur stor acceleration a blir för ett föremål med massa m_t, som utsätts för kraften F_a. (a) och (b) ovan uttrycker i själva verket ekvivalensprincipen klassiskt. Jag vill påminna läsaren om Wheelers sammanfattning av fältekvationerna, "Rum-tiden talar om för materien hur den skall röra sig och materien talar om för rum-tiden hur den skall kröka sig". I (a) och (b) ovan ser vi ungefär samma sak. Materian i rummet talar om för föremål i rummet med vilken kraft de skall påverkas (a) [materien i rummet bestämmer ju hur stor g är] och denna kraft talar om för föremålen hur de skall röra sig (b), dvs vilken acceleration den aktuella kroppen skall ha.

Vill vi veta vilken acceleration ett föremål med massa m_g får, om tyngdaccelerationen är g, får vi ekvationen

m_gg=m_ta       (c)

Enligt ekvivalensprincipen är m_g=m_t, dvs den gravitationella massan är lika med den tröga massan. Inom allmänna relativitetsteorin är ekvivalensprincipen ett postulat, dvs behöver inte bevisas. Postulat bevisas indirekt genom den teori de leder fram till och de förutsägelser som denna teori gör. Visar sig allmänna relativitetsteorin ge korrekta förutsägelser (vilket den gör) talar detta för att de postulat den utgår från är kompatibla med den fysiska verkligheten, dvs är relevanta. Om m_g=m_t, blir resultatet av (c) att a=g (dvs en fritt fallande kropps acceleration är lika med tyngdaccelerationen g). Massan m finns inte med i sambandet, vilket leder oss till slutsatsen att alla föremål (oberoende av massa) "faller lika fort" i ett gravitionsfält (vilket var en av Galileis stora upptäckter). På jorden stämmer inte detta i praktiken, eftersom en blytyngd faller snabbare än ett dun. Men det beror på luftmotståndet. På månen, där luftmotståndet är noll, faller alla föremål lika fort.

På jorden accelererar således en fallande kropp till en början med 9,8 m/s². När farten ökar alltmer, ökar luftmotståndet (med kvadraten av farten) och accelerationen minskar. Till slut är luftmotståndet lika stort som tyngdkraften och föremålet faller fortsättningsvis med konstant fart (eftersom totala kraften som påverkar kroppen nu är noll). En fallskärmshoppare som inte utlöst skärmen faller (efter några sekunders acceleration) med ca 180 km/h om denne ligger horistontellt och med ca 300 km/h om kroppen är vertikal (dykställning). Kollision med marken i dessa farter är inte överlevnadsbar, men enstaka personer har överlevt fall från flygplan genom att de hamnat i exemplevis hög, tät granskog och under den täta buskage och sedan tjocka snödrivor längst ned. Om sedan terrängen lutar ökar chansen ytterligare att överleva (ungefär som en hoppbacke). Men sådana händelser utgör extrema undantag.

Allmänna relativitetsteorin ger i normalfallet (t ex fallande föremål på Jorden) i stort sett samma förutsägelser som Newtons teori (enligt vilken gravitationen är en kraft). Men Einsteins teori förutsäger också existensen av objekt och fenomen som Newtons teori inte kan handskas med. T ex existensen av extrema objekt som neutronstjärnor och svarta hål. Den förutsäger också vissa fenomen av mer "vardaglig" natur, vilka inte kan förklaras med Newtons gravitationsteori (storleken av Merkurius periheliumförskjutning, ljusets avböjning vid passage nära en stor himlakropp, rödförskjutning av ljus som sänds ut från massiva stjärnor, gravitationens påverkan på tiden etc, etc).

Enligt Einsteins allmänna relativitetsteori går tiden långsammare när gravitationen ökar. Ett praktiskt exempel på detta är GPS-satelliterna (det viktiga satellitnavigationssystem som används av bl a mobiltelefoner, flyg, sjöfart etc). Dessa satelliter har en bana på ca 20 000 km höjd. Där är gravitationen betydligt lägre än på jordytan (ca 1/4) och atomuren fortar sig med 45 μs (mikrosekunder) per dygn relativt jordytan. Samtidigt säger speciella relativitetsteorin att tiden i ett visst system går långsammare i förhållande till en observatör utanför systemet, ju högre hastighet systemet har i förhållande till denna observatör. GPS-satelliterna rör sig med hastigheten ca 14 000 km/h (3,9 km/s), vilket enligt speciella relativitetsteorin gör att satellitens atomur drar sig efter med 7 μs/dygn (relativt en observatör på eller nära jordytan). Dvs den totala, relativistiska tidseffekten blir att atomuren på GPS-satelliterna fortar sig med 38 μs/dygn (45-7=38). Detta måste man ta hänsyn till i GPS-systemet. Satelliternas atomur justeras därför innan de sänds upp i sin bana, så att de drar sig efter med 38 μs/dygn. Väl uppe i sin bana kommer atomuren då att gå rätt. Atomuren (varje GPS-satellit har tre atomur) justeras dessutom kontinuerligt från ännu noggrannare atomur på marken. GPS-systemet bygger på extremt noggrann tidsmätning, vilket givetvis kräver att atomuren ombord går helt rätt (på nanosekunder när, dvs miljarddels sekunder). Skulle man inte ta hänsyn till de relativistiska effekterna, skulle det navigationsfel som systemet ger öka med 10 km per dygn. Efter 2 dygn skulle man således få ca 20 km fel i sin position (den optimala noggrannheten hos GPS-systemet är några centimeter).

Observera att det inte är klockorna, som genom några fysikaliska effekter saktar in när gravitationen ökar (t ex att den ökande gravitationen får klockornas mekanismer att gå långsammare), vilket är ett vanligt missförstånd. Enligt allmänna relativitetsteorin är det tiden själv som saktar in (klockorna avspeglar bara detta). Einsteins relativitetsteorier (den speciella och den allmänna) visar att tiden i viss mening är ett subjektivt begrepp. Tiden går olika fort för olika observatörer beroende på hastighet och gravitation. När gravitationen ökar saktar tiden in. På Solen, som har betydligt större gravitation än Jorden, saktar sig en klocka, med drygt 0,17 s/dygn, jämfört med en jordisk klocka dvs ca 62 s/år (då har vi bortsett från tidsdilationen på grund av den relativa hastigheten mellan Solen och Jorden, samt effekten av Solens och Jordens rotationer). I den ultimata gravitationen i ett svart hål har tiden saktat in så mycket att den står still (i ett svart hål har rum och tid i viss mening bytt plats, dvs ett objekt i ett svart hål är fånge i rummet men kan röra sig fritt i tiden — problemet är att man inte kan tala om objekt i detta sammanhang, eftersom allt som försvinner in i ett svart hål krossas till en okänd kompakt "gröt", vars natur vi inte har någon som helst kunskap om). På jordytan blir tidsvariationerna på grund av olika gravitation på olika platser så små att de endast kan mätas med atomur men när det gäller satelliter i bana runt Jorden är dessa variationer (under dygn eller längre) således observerbara med konventionella klockor av hög precision.

Det finns många aspekter man kan lägga på tidsbegreppet. När man säger att tiden saktar in eller fortar sig enligt någon av relativitetsteorierna, menar man tid definierad på ett visst sätt. Denna typ av tid skulle vi kunna kalla fysikalisk tid. Är denna tid samma tid som den tid vi upplever och/eller den tid vi åldras i? Detta är ett mycket intressant fråga, men vi har tyvärr inte något otvetydigt svar här och utrymmet tillåter inte att vi går närmare in på detta.

Många människor betraktar Einsteins relativitetsteorier som ren dårskap. Under 1930-talet och några år framåt, fanns en stor fientlighet mot dessa teorier. Man menade att det handlade om teoretiska spekulationer som inte hade något med verkligheten att göra. Alvar Gullstrand (1862-1930) var en känd svensk professor som utvecklade nya mätinstrument inom oftalmologin (ögonläkeri). Han tilldelades 1911 nobelpriset i medicin för sina insatser. Han var fullständigt besatt av hat mot Einsteins relativitetsteorier och såg som sin livsuppgift att strida mot dessa och gjorde allt för att Einstein inte skulle få nobelpriset (han satt ju själv i Nobelkommittén). Gullstrand lyckades fördröja att Einstein fick priset men inte stoppa det. Men han lyckades delvis, eftersom Einstein inte fick priset (1921) för sina relativitetsteorier utan för sin förklaring av den fotoelektriska effekten. Och Gullstrand var inte ensam. I Tyskland hade man på 1930-talet en fysikkonferens, vars uppgift var att vederlägga Einsteins teorier. Titeln på den vitbok som konferensen producerade var "100 fysikprofessorer bevisar att Einstein har fel". Einsteins kommentar när han fick höra talas om denna vitbok var, "Hade jag haft fel, hade det räckt med en". Att Einstein aldrig fick priset för sina relativitetsteorier utgör en skamfläck i Nobelprisets historia!

Jag kan i viss mån förstå att människor har svårt att acceptera relativitetsteorierna. Einsteins teorier säger många saker som bryter mot det som brukar kallas "sunt förnuft". Allmänna relativitetsteorin är emellertid en av fysikens mest bevisade teorier (just för att den säger så många "konstiga saker" har den undersökts extra noga). Alla förutsägelser den gör stämmer med observationer intill mätnoggrannheten. Läsaren bevisar f ö själv att allmänna relativitetsteorin är sann varje gång han eller hon använder sin GPS!

Enligt den moderna fysiken förmedlas gravitationen av virtuella partiklar, kallade gravitoner. Enligt allmänna relativitetsteorin orsakas gravitationen av att materiella objekt kröker rum-tiden, vilket sedan påverkar rörelsen hos objekt som befinner sig i denna rum-tid. 1988, när Leon Lederman fick sitt nobelpris i fysik, arbetade jag på KTH. Jag lyssnade på den nobelföreläsning han då höll där. Under den avslutande frågestunden fick han frågan hur man kan förena dessa två till synes oförenliga perspektiv [gravitationen som kraft förmedlad av partiklar (Newton) och gravitationen som geometri (Einstein)]. Lederman log och svarade, "You are not supposed to ask that question." Och sedan reste han sig upp och gick. Underförstått, fysiken har inget svar på detta. Fysiken ger oss användbara modeller och inte absoluta sanningar, och både Newtons och Einsteins gravitationsmodell utgör användbara modeller.

Tillbaka till Min Fysiksida

---

[1] Gravitoner.
[2] Ett föremål som bara påverkas av gravitation betraktas alltså här som fritt, eftersom gravitationen inte är en kraft enligt allmänna relativitetsteorin. De två övriga krafterna är elektrosvag och stark växelverkan.
[3] Storcirkeln från Stockholm till Los Angeles går t ex över nordpolen.