"Godhet utan vishet och utan
gränser är bara en annan
form av ondska."
(John Paterson)

"Det är synd att 99% av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
(Okänd)

"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
(Artur Lundkvist)

"När försiktigheten finns överallt,
finns modet ingenstans."
(den belgiske kardinalen Mercier)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(Hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

Senast ändrad: 2024 05 15 15:12

Ett mekanikexempel

(Note: at the top of the page you can choose translation of this article to other languages, but don't expect the translation to be perfect — "Välj språk" means "Choose language")

 

Låt oss nu, som ett exempel på hur man arbetar inom mekaniken, lösa ett enkelt men mycket illustrerande mekaniskt problem. Jag använder här Newtons mekanik rakt av, utan några krusiduller. Ingen matematik nedan ligger över högstadienivå.

Antag att vi har två kroppar, A och B, med exakt samma massa, som vi kallar m. De kan röra sig längs en friktionsfri skena (kropparna kan t ex vila på var sin luftkudde). Problemet är således endimensionellt. B befinner sig i vila, dvs har hastighten 0, medan A kommer glidande mot B med den konstanta hastigheten v. Vare sig A eller B påverkas av några krafter. Om t ex A påverkades av en horisontell kraft, skulle v inte vara konstant, utan A skulle accelerara eller retardera (givetvis påverkades A av en kraft när A accelererades upp till v, men den kraften är nu borta).

I endimensionella system har vektorer (som hastighet och rörelsemängd) endast två möjliga riktningar (åt höger eller åt vänster om systemet är horisontellt). I figuren nedan är referensriktningen åt höger (i en tänkt x-axels normala riktning). Riktningar anges med plus och minustecken. Vektorer riktade åt höger är i ett sådant system positiva och vektorer riktade åt vänster är negativa. Hastigheten v ovan är således positiv. Om vi i lösningen av vårt problem får en hastighet med ett minustecken framför, är denna hastighet riktad åt vänster. Matematiken anger således inte bara de efterfrågade vektorernas storlek utan även deras riktning (vilket givetvis är självklart).

Vi antar vidare att farten är så låg att vi kan bortse från luftmotståndet. Situationen före kollisionen visas i övre figuren nedan:

Undre figuren ovan visar systemet efter kollisionen. Vår uppgift är att beräkna vA och vB. I figuren har vi antagit att dessa två hastigheter är riktade åt höger. Om det skulle visa sig att någon av dem i stället är riktad åt vänster, kommer vi i lösningen att få ett minustecken framför denna hastighet.

A kommer således att krocka med B och vi skall nu undersöka exakt vad som kommer att hända. Det finns flera möjliga utgångar; B börjar röra sig åt höger och A fortsätter åt höger med reducerad fart, A studsar tillbaka medan B börjar röra sig åt höger etc (typ biljardbord, fast då är problemet tvådimensionellt). Vi kan givetvis gissa vad som blir utgången, men låt oss lämna allt detta till matematiken att svara på. Matematiken kommer att ta hand om allt. Och ge oss alla lösningar (om det finns flera).

Vid kollisionen, som vi antar är elastisk, bevaras rörelseenergin Ek och rörelsemängden p (om t ex B skulle vara en degklump kommer utgången att bli helt annorlunda, eftersom rörelseenergi då kommer att försvinna när B deformeras). A:s och B:s hastigheter efter kollisionen kallar vi vA respektive vB.

A och B påverkas inte av några yttre krafter. Vi har inga sådana horisontella krafter och de vertikala krafternas summa är noll, eftersom tyngdkraft och normalkraft från skenan är lika stora och motriktade. De två kropparna utgör därför ett slutet system. För sådana system gäller att rörelseenergi och rörelsemängd bevaras, dvs är konstanta. Summan av kropparnas rörelseenergier respektive rörelsemängder före kollisionen är därför lika med samma summa efter kollisionen.

Rörelseenergins och rörelsemängdens bevarande leder nu till två samband (vilka tillsammans utgör ett ekvationssystem med två obekanta; vA och vB):

mv2/2+m⋅02/2=m(vA)2/2+m(vB)2/2    (1)
mv+m⋅0=mvA+mvB        (2)

I samband (1) har vi använt att rörelseenergin Ek för massan m som rör sig med hastigheten v blir Ek=mv2/2. Och i (2) har vi utnyttjat att rörelsemängden p för motsvarande system blir p=mv (se huvudartikeln). Eftersom B:s initialhastighet är 0 blir B:s initiala rörelseenergi och rörelsemängd lika med noll (hastigheten är lika med noll i dessa två termer).

Eftersom m förekommer som faktor i alla termerna i både (1) och (2) kan vid dividera bort denna faktor (man får inte dividera med noll men vi vet att m≠0). I (1) kan vi dessutom multiplicera bort faktorn 2 som finns som nämnare i alla termerna. Den term i vänsterleden i (1) och (2), som innehåller faktorn 0 (B:s initialhastighet), försvinner givetvis. Vi kan således förenkla våra ekvationer rejält och får nu:

v2=(vA)2+(vB)2    (1)
v=vA+vB        (2)

A:s initialhastighet v är given och massan m har försvunnit och har därför ingen betydelse för lösningen (hade A och B haft olika massor hade det varit en helt annan sak). Vi löser ut vB ur (2), enligt vilken vB=v-vA, och sätter in detta i (1) och får:

v2=(vA)2+(v-vA)2

Detta sätt att lösa ekvationssystem kallas substitution (man sätter in en ekvation i en annan ekvation och blir på så sätt av med en variabel). Vi har ovan ersatt (substituerat) vB i ekvation (1) med vB uttryckt i v och vA, dvs v-vA, från ekvation (2). Den återstående ekvationen innehåller nu endast en obekant (vA) medan v är känd. Ekvationen kan således lösas. Parentesen i högerledet utvecklas med hjälp av den välkända kvadreringsregeln [(a-b)2=a2-2ab+b2]) och resultatet blir (efter några enkla algebraiska manipulationer som läsaren själv kan roa sig med):

2(vA)2-2v⋅vA=0
vilket ger
2⋅vA⋅(vA-v)=0        (3)

I sista steget har vi brutit ut 2 och vA och får då samband (3). Vi har således i samband (3) en produkt av 3 faktorer, där produkten är lika med noll. Detta innebär att minst en av faktorerna måste vara noll. 2 kan uppenbarligen inte vara lika med noll, alltså återstår att antingen vA=0 eller att parentesen (vA-v)=0. Det senare leder till att vA=v. Båda dessa villkor (vA=0 och vA=v) kan inte vara uppfyllda samtidigt, eftersom de säger emot varandra. Låt oss nu undersöka de två möjliga lösningar vi fått. Eftersom vi nu känner vA kan vi med hjälp av sambandet vB=v-vA [samband (2)] ta fram vB. Vi får två resultat:

I: vA=0 och vB=v-vA=v-0=v
alternativt
II: vA=v och vB=v-vA=v-v=0

Alternativ II kan vi direkt utesluta, eftersom detta innebär att B fortsätter att vara i vila medan A på något magiskt sätt passerar genom B och bibehåller sin fart. I atomernas värld kan detta faktiskt inträffa, även om det är osannolikt (kallas tunneleffekten), men i den klassiska mekaniken är detta en omöjlighet. Fasta makroskopiska kroppar kan inte passera genom varandra. Dvs II utgör en matematisk möjlighet som inte kan realiseras i den makroskopiska, fysiska verkligheten. Lösningen till problemet är således I, dvs att vA=0 och vB=v. A kommer vid kollisionen att stoppa helt och B tar över A:s hela rörelse och fortsätter med samma hastighet som A hade (förutsättningen är att A och B har exakt samma massa).

Ovan har vi inte använt några speciella numeriska värden på massan m och hastigheten v, dvs lösningen är oberoende av m och v. Vi har således visat att om en rörlig kropp A med hastigheten v kolliderar med en stillastående kropp B, och kropparnas massor är lika stora och rörelsen är endimensionell, så tar B över A:s hastighet, dvs B rör sig efter kollisionen med v medan A nu är stillastående. När man på ett biljardbord skjuter en biljardboll A mot en annan biljardboll B (vi antar att bollarna har samma massa), som befinner sig i vila, och träffar helt rent (dvs utan några sidokrafter), så kommer A att stoppa och B kommer att fara iväg med den hastighet som A hade (bollarna rör sig i detta fall endimensionellt). Men på ett biljardbord kan man avsiktligt se till att träffa lite snett (eftersom vi har en ytterligare dimension tillgänglig) så att den träffade bollen far iväg snett. Man kan också ge en biljardboll skruv (rotation), vilket ytterligare ökar möjligheten att få den träffade bollen att gå dit man vill. Att lösa mekaniska problem i två eller tre dimensioner, och där man också har rotationer, blir betydligt mer komplicerat än ovan, men principen är densamma.

Man kan tänka sig variationer av ovanstående problem. En är att B sitter fast och inte kan röra sig. Vi har således ett s k tvångsvillkor som innebär att B:s hastighet efter kollisionen är lika med noll, dvs vB=0. Detta villkor måste inkluderas i ekvation (1) och (2) ovan. Vi måste således tala om för matematiken vad som gäller och matematiken kommer sedan att ta hand om allt. Läsaren kan själv, som övning, roa sig med att försöka lösa detta fall. Resultatet blir att A kommer att studsa tillbaka med samma fart som A hade från början (v), men i detta fall blir hastigheten riktad åt vänster, dvs vA=-v. Vi utgår här från att kollisionen är helt elastisk (som en studsboll som studsar i stort sett lika högt som den höjd den släpps från).

En annan intressant variant är att A vid kollisionen fastnar i B och båda fortsätter tillsammans. Ungefär som på en rangerbangård, där en vagn kommer rullande mot en stillastående, lika tung vagn, och dessa vagnar har automatkoppel, som kopplar ihop vagnarna när de kolliderar. Efter kollisionen kommer vagnarna därför att ha samma hastighet, dvs vA=vB, vilket måste sättas in i ekvation (1) och (2). I detta fall får vi en mer svårtolkad lösning, eftersom kollisionen i detta fall inte är elastisk, dvs det kommer att försvinna rörelseenergi när vagnarna kopplas ihop. Den intresserade läsaren kan själv försöka reda ut detta (en nyttig övning, som kanske visar sig vara svårare än man tror).

Exemplet ovan utgör en enkel tillämpning av klassisk mekanik. Vi ser här hur matematiken tar hand om allt under förutsättning att vi stoppat in all relevant information i ekvationerna. Även om vi gör felaktiga antaganden kommer matematiken att påvisa detta. Om vi t ex antar fel riktning på en hastighet, kommer lösningen att ge denna hastighet ett minustecken, och talar därmed om att hastigheten är motriktad den antagna hastigheten. Matematiken utgör ett fantastiskt verktyg i fysikens värld.

Tillbaka till artikeln "Min fysiksida"

© Krister Renard