"Godhet utan vishet och utan
gränser är bara en annan
form av ondska."
(John Paterson)

"Det är synd att 99% av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
(Okänd)

"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
(Artur Lundkvist)

"När försiktigheten finns överallt,
finns modet ingenstans."
(den belgiske kardinalen Mercier)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(Hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

Kvantmekanik del 1

Den allmänt accepterade lösningen på elektronens dubbelnatur är att införa den s k våg-partikeldualismen för atomära partiklar. Denna dualism innebär att det för en fullständig beskrivning av sådana partiklar krävs att man tillskriver dessa både våg- och partikelegenskaper. Enligt den av Niels Bohr formulerade komplementaritetsprincipen,så kompletterar våg- och partikelbeskrivningen varandra. Båda dessa är enligt Bohr nödvändiga, för att man uttömmande skall kunna beskriva atomära partiklars egenskaper!

En slutsats vi tvingas dra utifrån dubbelspaltexperimentet, är att elektroner och andra atomära partiklar inte kan röra sig längs väldefinierade banor. Skulle så vara fallet, måste dessa partiklar nämligen passera genom antingen den ena eller den andra spalten.

Detta medför att en atomär partikel inte samtidigt kan ha både väldefinierat läge och väldefinierad hastighet[1]. Skulle den ha båda dessa storheter exakt definierade i varje ögonblick, så måste den nämligen som en följd av detta, röra sig längs just en sådan väldefinierad bana, som dubbelspaltexperimentet visar att den inte kan ha. Atomära partiklars speciella egenskaper kommer bl a till uttryck i Heisenbergs s k osäkerhetsrelationer. De två mest kända av dessa relationer har följande utseende:

(1)

(2)

där (h-streck) betyder Plancks konstant h dividerad med , dvs . Den översta formeln uttrycker i matematisk form just det vi nyss kommit fram till, nämligen att ju exaktare läge[2] en partikel har, desto mer odefinierad är dess hastighet[3] och vice versa. Om (osäkerheten i partikelns hastighet går mot noll) måste det — på grund av att — gälla att , dvs partikeln finns "utsmetad" över hela x-axeln! Den har alltså i detta fall inte något läge överhuvudtaget! Det undre uttrycket anger att det existerar en liknande osäkerhet mellan energi (E) och tid (t).

I gymnasieskolans läroböcker framställs osäkerhetsrelationerna ofta som rent mättekniska begränsningar utan någon djupare, fysikalisk innebörd. De flesta fysiker är emellertid överens om att osäkerhetsrelationerna inte bara uttrycker vår oförmåga att samtidigt ha exakt kunskap om exempelvis både en atomär partikels läge och hastighet, utan att de också handlar om dessa partiklars egenskaper. Dubbelspaltexperimentet visar att en atomär partikel helt enkelt inte kan ha egenskaperna hastighet och läge samtidigt. Det är alltså inte fråga om ofullkomliga mätinstrument och mätmöjligheter, utan om en fundamental egenskap hos verkligheten.

För en fri partikel, dvs en partikel som inte påverkas av några krafter, visar det sig att man samtidigt kan göra en exakt mätning av både rörelsemängd och energi. Om vi har gjort en sådan mätning och därmed känner E och p exakt, är osäkerheten i x och t enligt (1) och (2) oändligt stor. Har vi i stället mätt x och t exakt, saknar vi å andra sidan helt kunskap om p och E. Utvidgas resonemanget till det tredimensionella fallet, betyder detta att vi kan göra en samtidig och exakt mätning av antingen en fri partikels rörelsemängd och energi (p och E) eller av dess läge vid en viss tidpunkt (x,y,z och t). Den första mätningen kan betraktas som en beskrivning av partikeln utifrån ett kausalitetsperspektiv (orsak och verkan), medan den andra mätningen innebär att vi ger en rumtidsbeskrivning av partikeln. Vi kan således välja mellan att antingen studera partikeln ur ett rumtidsperspektiv eller ur ett kausalitetsperspektiv. Osäkerhetsrelationerna förbjuder oss emellertid att anlägga båda dessa perspektiv samtidigt. Vi måste därför bestämma oss för hur vi vill betrakta verkligheten. Så fort vi valt ett av perspektiven, har vi därmed uteslutit det andra. Försöker vi kombinera de två betraktelsesätten till en enda beskrivning, uppträder logiska motsägelser.

Enligt Bohr innebär komplementaritetsprincipen att den kausala beskrivningen och rumtidsbeskrivningen kompletterar varandra. Tillsammans ger de en fullständig bild av verkligheten.

Osäkerhetsrelationerna garanterar att endast meningsfulla frågor om kvantmekaniska objekt får meningsfulla svar. Meningslösa frågor, som t ex frågan om samtidiga och exakta värden av en partikels hastighet och läge, utesluts genom dessa relationer. Inom den klassiska fysiken kan man fullständigt karakterisera en kropp och dess rörelse genom att med stor noggrannhet ange diverse mätstorheter som; massa, läge, hastighet etc. Utifrån dessa kända storheter kan man sedan med hjälp av fysikens lagar förutsäga hur denna kropp kommer att bete sig i t ex en experimentell situation.

En partikel i mikrokosmos kan inte, vilket vi nyss konstaterat, samtidigt ha både hastighet och läge väldefinierade. Vi kan därför inte använda den klassiska fysikens metoder i den atomära dimensionens domän. Man har funnit att en partikel i stället måste representeras av en matematisk funktion, en s k vågfunktion.. Denna brukar ofta betecknas med den grekiska bokstaven(psi). Vågfunktionen innehåller all tillgänglig information om den atomära partikel — eller det system av partiklar — som vi studerar. Ibland betraktas helt enkelt som en "katalog" över de möjliga mätresultat, som vi kan få vid mätning på systemet.

Utifrånkan vi med hjälp av de kvantmekaniska ekvationerna beräkna sannolikheten för att systemet skall ha en viss bestämd energi, en viss rörelsemängd, ett visst läge etc. Till skillnad från det klassiska fallet kan vi således inom den kvantmekaniska domänen i allmänhet endast förutsäga sannolikheter. Vi kan t ex inte förutsäga vilken hastighet en partikel verkligen kommer att ha, utan endast sannolikheterna för dess olika, möjliga hastigheter.

Undantag från detta är storheter, som inte karakteriserar partikelns rörelse, utan vilka direkt relaterar till dess partikelkaraktär, t ex massa och laddning.

Följande egenskaper har visat sig gälla för atomära system:

1. Kvantmekaniken kan i regel inte förutsäga utfallet av enskilda mätningar.
2. De olika dynamiska storheterna är ofta kvantifierade, dvs kan inte anta vilka värden som helst.
3. Vissa par av storheter är omöjliga att mäta samtidigt med godtyckligt stor noggrannhet.

Vågfunktionen kan ses som en kvantitativ formulering av det gamla grekiska begreppet dynamis. Detta begrepp spelade en betydelsefull roll i Aristoteles filosofi och kan fritt tolkas som "möjlighet" eller "potential". Möjligheten eller potentialen för att en händelse skall äga rum — t ex att vi skall få ett visst mätresultat — innebär enligt Heisenberg en slags verklighet, halvvägs mellan materiens och den fysiska verklighetens massiva realitet och idéernas intellektuella realitet. I och med kvantmekaniken får detta begrepp ny aktualitet och formuleras där kvantitativt med hjälp av sannolikhetslärans matematiska lagar.

Sammanfattningsvis gäller att ett systems vågfunktion inte direkt är relaterad till några observerbara egenskaper. I stället ger denna funktion en beskrivning av de möjligheter som ryms inom systemet. Då vi nu kan beräkna sannolikheten för varje möjligt mätvärde av en fysikalisk storhet, kan vi också förutsäga denna storhets förväntningsvärde (medelvärde). I fortsättningen betecknar vi förväntningsvärdet av den fysikaliska storheten f med <f>.

Förväntningsvärdet är normalt inte lika med det resultat man får vid en enstaka mätning. Om vi i stället gör upprepade mätningar på ett stort antal identiskt lika preparerade system — som alltså beskrivs av en och samma vågfunktion — kommer de enskilda mätningarna visserligen att ge olika resultat, men medelvärdet av dessa mätningar kommer att vara lika med det ovan beräknade förväntningsvärdet. Vi kan alltså normalt inte förutsäga utfallet av en enskild mätning utan endast medelvärdet av ett stort antal mätningar på identiska system.

Denna begränsning gäller inte i det speciella fallet att systemet befinner sig i ett s k egentillstånd. Detta begrepp är synnerligen viktigt, eftersom ett atomärt systems tillstånd alltid kan beskrivas som en superposition (summa) av egentillstånd. Vi återkommer senare till detta.

När det gäller förväntningsvärden uppför sig tydligen kvantmekaniska system på liknande sätt som klassiska. Här är det alltså inte fråga om några statistiska förutsägelser utan förväntningsvärdena är deterministiskt bestämda ur initialvillkoren. Det verkar därför rimligt att förvänta sig att kvantmekaniska systems förväntningsvärden uppfyller samma relationer som motsvarande klassiska kvantiteter. Detta antagande brukar gå under namnet korrespondensprincipen eller Bohrs korrespondensprincip. Enligt korrespondensprincipen bör t ex följande samband gälla:

där <F> och <v> är kraftens respektive hastighetens förväntningsvärde. Detta samband svarar mot den klassiska fysikens:

Det bör kanske påpekas att ovanstående framställning av korrespondensprincipen inte är Bohrs ursprungliga. Där utgick man i stället från antagandet att det är omöjligt att ange någon skarp gräns mellan makro- och mikrokosmos. Enligt Bohr måste därför den klassiska fysikens lagar utgöra en approximation av de kvantmekaniska lagarna. Då vi går från studiet av elementarpartiklar till atomer och sedan via molekyler mot allt större objekt, måste de kvantmekaniska lagarna kontinuerligt närma sig den klassiska fysikens lagar. En illustration av detta fås om man tillämpar kvantmekanikens lagar på en kropp, som faller fritt i ett gravitationsfält. Om vi utgår från en viss begynnelseosäkerhet i kroppens läge i vertikal led, så förutsäger kvantmekaniken — till skillnad från den klassiska fysiken — att denna ursprungliga osäkerhet kommer att öka som funktion av tiden.

Betraktar vi nu en elektron, där massan är av storleksordningen 10^-31 kg och låter osäkerheten i elektronens vertikala läge vara 10^-8 cm finner man efter ganska långa och mödosamma beräkningar utifrån kvantmekanikens lagar, att osäkerheten i läge har ökat med 50 procent redan efter 10^-16 s. Efter mycket kort tid har man således förlorat nästan all kunskap om elektronens vertikala läge! Ett resultat, som visar att de kvantmekaniska förutsägelserna för renodlat mikroskopiska objekt i detta fall är helt oförenliga med den klassiska fysiken.

Om kroppens massa istället är 1 mg, dvs det är fråga om ett makroskopiskt objekt, och vi känner dess läge med en noggrannhet av 10^-5cm, följer ur precis samma kvantmekaniska lagar att osäkerheten i läge ökat med 50 procent först efter 10⁹ år! En omätbar ökning av osäkerheten med andra ord, och praktiskt sett helt i överensstämmelse med den klassiska fysikens förutsägelser, enligt vilka osäkerheten är konstant.

De kvantmekaniska lagarna gäller därför även för makroskopiska objekt. Kvantmekanikens effekter blir emellertid inte observerbara i detta fall. Den klassiska fysiken kan därför betraktas som en approximation av kvantmekaniken. Att kvantmekaniska systems förväntningsvärden (medelvärden) uppfyller samma relationer som motsvarande klassiska kvantiteter, beror på att man genom medelvärdesbildningen till viss del neutraliserar de kvantmekaniska fluktuationerna[4]. Man kan därför betrakta medelvärdena för kvantmekaniska system som mätstorheter för approximativt makroskopiska objekt. Omvänt ger den klassiska fysiken en fullgod beskrivning av makroskopiska objekt på grund av att de stora talens lag garanterar att de statistiska fluktuationerna i sådana objekt neutraliserar varandra. Bohrs ursprungliga formulering av korrespondensprincipen leder därför fram till det ovan gjorda antagandet att mikroskopiska systems medelvärden uppfyller precis samma relationer som motsvarande klassiska storheter.

Tillbaka till Min Fysiksida

Du kan läsa mer om kvantmekanik i:
Kvantmekanik del 2

---

[1] En partikels bana, eller trajektoria, är definierad endast om både hastighet och läge är väldefinierade i varje punkt av banan.
[2] x anger x-koordinaten för läget och osäkerheten i detta. innebär att partikeln har ett exakt definierat läge i x-led. innebär på motsvarande sätt att partikeln "inte har något läge alls". Den kan i detta fall finnas var som helst i x-led (Vi studerar här endast endimensionell rörelse i x-led. Motsvarande formler gäller naturligtvis också i y- och z-led).
[3] p = mv, där v är hastigheten — som vi här antar är riktad i x-led, dvs p = p_x — och m är massan. p kallas partikelns rörelsemängd och anger osäkerheten i denna. Då m normalt är konstant, kommer att vara ett mått på osäkerheten i v, dvs i partikelns hastighet.
[4] En bisvärm i rörelse mellan två träd kan fungera som en suggestiv bild (åtminstone för den som sett en sådan i verkligheten). Försöker man beskriva den bana utefter vilken ett enskilt bi rör sig, visar sig denna vara synnerligen oregelbunden för att inte säga kaotisk. Den bana, som bisvärmens masscentrum rör sig längs, uppvisar naturligtvis en betydligt större regelbundenhet. Masscentrums rörelse utgör ett slags medelvärde av de enskilda binas rörelser. Oregelbundenheterna i de enskilda binas rörelsemönster neutraliseras därför i viss mån vid den medelvärdesbildning som masscentrum utgör.