"Godhet utan vishet och utan
gränser är bara en annan
form av ondska."
(John Paterson)

"Det är synd att 99% av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
(Okänd)

"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
(Artur Lundkvist)

"När försiktigheten finns överallt,
finns modet ingenstans."
(den belgiske kardinalen Mercier)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(Hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

Fraktaler och Mandelbrotmängden

(Note: at the top of the page you can choose translation of this article to other languages, but don't expect the translation to be perfect — "Välj språk" means "Choose language")

 

För den matematiskt intresserade läsaren:

Kaotiska system är besläktade med s k fraktaler. Här handlar det, precis som när det gäller kaotiska system, om instabila samband, där en liten förändring i indata ger groteska förändringar i utdata. Existensen av fraktaler var känd redan vid 1800-talets mitt och under tidigt 1900-tal gjordes en del teoretiska framsteg. Man gjorde några försök att beräkna fraktaler, men eftersom man räknade för hand fick man endast en vag uppfattning om deras struktur. Ganska snart föll detta med fraktaler i glömska, eftersom de mer upplevdes som kuriosa än som användbar matematik. I och med utvecklingen av snabba datorer 50 år senare väcktes intresset för fraktaler till liv igen. För att på allvar studera fraktaler krävs nämligen mycket kraftfulla datorer.

Fraktalerna återupptäcktes i samband med studier av brus i datorkommunikation och vädersimuleringar under 1970-talet. Man fick vid sådana beräkningar ibland resultat som tycktes helt obegripliga. När matematikerna (en av dessa var den franske matematikern Benoit Mandelbrot) försökte hitta orsaken till dessa märkliga resultat, förstod de ganska snart att de bisarra resultaten orsakades av att de inblandade ekvationerna var instabila/kaotiska. Denna upptäckt ledde till att studiet av fraktaler tog ny fart. Nu hade man ju äntligen det perfekta verktyget för detta — den moderna datorn.

Det kanske mest välkända (bland allmännheten) exemplet på en fraktal är Mandelbrotmängden.

Bilden visar den s k Mandelbrotmängden (uppkallad efter Benoit Mandelbrot, en av de tidiga pionjärerna i modern tid när det gäller fraktaler). Själva Mandelbrotmängden utgörs av det svarta området (resten av bilden förklaras i texten nedan). Mandelbrotmängden utgör ett exempel på en fraktal. De tre strukturerna ("avknoppningarna") vid pilarna (1, 2 och 3) är i själva verket identiska (bortsett från att de blir allt mindre). Motsvarande "avknoppningar" på dessa är sin tur identiska med 1, 2 och 3 in i minsta detalj och hur mycket vi än förstorar så kommer vi att hitta precis samma strukturer. Förstorar vi 3 kommer vi att se att 3 är identiskt lika med 1 (in i minsta detalj). Vi kan fortsätta att förstora oändigt många gånger och fortfarande upprepas samma struktur. Dessutom kommer, när vi förstorar alltmer, nya och annorlunda strukturer att dyka upp i vissa områden av mängden. Se t ex denna video som visar en drygt 16 minuter lång inzoomning på Mandelbrotmängden. Zoomningen skulle kunna fortsätta in i evigheten och hela tiden skulle nya och delvis samma strukturer dyka upp (vid bl a ca 1:46 och 16:31 dyker Mandelbrotmängden själv upp igen — den innehåller sig själv oändligt många gånger). Filmen ger förhoppningsvis läsaren en känsla för hur komplext detta med kaos och fraktaler och därmed också väder och klimat är.

De tidiga pionjärerna på fraktaler var hänvisade till att räkna för hand och kunde bara få en vag uppfattning om strukturen hos fraktaler. Skulle man manuellt räkna fram Mandelbrotmängden med hyfsat hög upplösning (typ 1920x1080 pixlar), skulle detta ta hundratals år (gissningsvis). Vill man sedan förstora denna mängd kommer varje förstoring att ta lika lång tid. Inzoomningen, som länkas till ovan, skulle antagligen ta flera miljoner år att räkna fram för hand (enligt vad som uppges så tog det 4 veckors beräkningar med en förmodligen ganska kraftfull dator att ta fram den). Den moderna datorn har således varit avgörande för studiet av fraktaler.

Mandelbrotmängden genereras av det iterativa sambandet:

z_n+1=z_n²+c, där z och c är komplexa tal.            (1)

Här är n=0,1,2,3,4..., dvs n genomlöper de positiva heltalen (där nästa z_n erhålles ur föregående). Per definition gäller att z₀=0, vilket således utgör startvärdet för iterationen. Mandelbrotmängden genererad enligt (1) (i kombination med en regel som alldeles strax skall redovisas) har sin existens i det komplexa talplanet (detta fungerar ungefär som ett vanligt 2-dimensionellt koordinatsystem/xy-system — läs mer om detta här).

Ett komplext tal definieras av två reella tal (kallade real- respektive imaginärdel), vilka fungerar som koordinater i det tvådimensionella, komplexa talplanet. Det komplexa talet z kan generellt skrivas som z=a+ib, där i är den s k imaginära enheten, vilken definieras av att i²=-1. Talen a och b är reella tal och kallas realdelen av z (Re z) respektive imaginärdelen av z (Im z). De reella talen har imaginärdelen lika med 0 och utgör en delmängd av de komplexa talen. Om t ex z=2-4i så är Re z=2 och Im z=-4.

Varje komplext tal z=a+ib svarar således mot en punkt i det komplexa talplanet, med koordinaterna (a,b).

För att avgöra om en viss punkt i det komplexa talplanet tillhör Mandelbrotmängden eller ej sätter man c i formel (1) lika med denna punkts koordinater (c representerar således det komplexa talplanets olika punkter). Sedan sätter man in z₀=0 (vilket helt enkelt är ett fördefinierat värde) i (1) och räknar fram z₁. Det gäller då att:

z₁=z₀²+c=0+c=c

Dvs z₁ är alltid lika med c. Detta värde sätts sedan in i (1) varvid vi får z₂ enligt:

z₂=z₁²+c=c²+c

Etc, etc. Man itererar på så sätt fram en följd av punkter (z₁, z₂, z₃...) i det komplexa talplanet. Och så tittar man på vad som händer när n går mot oändligheten (n→∞). Vart tar denna punktföljd vägen? Håller den sig inom ett begränsat område eller brakar den iväg mot oändligheten? Detta upprepas för alla punkter c i det komplexa talplanet (givetvis kan man inte ta alla punkter, eftersom det finns oändligt många, utan man får bestämma hur stor upplösning man vill ha). Om för ett givet c punktföljden z₁, z₂, z₃... inte går mot oändligheten när n går mot oändligheten (dvs alla punkter i talföljden håller sig inom ett begränsat område av det komplexa talplanet oavsett hur stort n är), tillhör c Mandelbrotmängden och markeras med svart färg. Mandelbrotmängden består således av det svarta området i figuren ovan. Om punktföljden går mot oändligheten, tillhör c inte Mandelbrotmängden och tilldelas en färg (skild från svart) som visar hur snabbt punktföljden rör sig mot oändligheten när n gå mot oändligheten. Färgskalan (som således avspeglar hur snabbt följden av punkter för ett visst c rör sig mot oändligheten) kan givetvis väljas godtyckligt.

I formel (1) sätter man således in (i c) det komplexa talsystemets olika punkter. Genom iterationen avgör man sedan (enligt föregående stycke), för varje punkt, om denna ligger utanför eller i Mandelbrotmängden (det senare anges med svart färg i figuren ovan). z₀ i formlen är definitionsmässigt lika med noll, och kan betraktas som en konstant.

Bilden visar Mandelbrotmängden med det komplexa talplanets koordinataxlar inlagda. Den horisontella axeln (den reella axeln) anger realdelen och den vertikala axeln (den imaginära axeln) anger imaginärdelen för de olika komplexa talen (som utgör punkterna i koordinatsystemet). De två utmärkta punkterna (-1,0) och (1,0) relaterar till de två exemplen nedan och ligger båda på den reella axeln (och representerar därför reella tal — -1 respektive 1).

Exempel: Antag att vi skall undersöka om punkten (-1,0) tillhör Mandelbrotmängden (se figuren ovan). I detta fall gäller att c=-1+0i=-1 (imaginärdelen av c är i detta fall lika med noll, dvs c är det reella talet -1). Vi sätter nu in detta värde på c i formel (1) ovan och får efter att ha startat med z₀=0 (enligt förklaringen i föregående stycke):

z₁=z₀²+c=(0)²+(-1)=0+(-1)=-1

Detta värde sätter vi in igen i (1) och upprepar sedan detta förfarande några gånger (vi gör flera iterationer):

z₂=z₁²+c=(-1)²+(-1)=1-1=0
z₃=z₂²+c=(0)²+(-1)=0-1=-1
z₄=z₃²+c=(-1)²+(-1)=1-1=0
osv...

Vi ser här att talföljden (z_n) kommer att växla fram och tillbaka mellan -1 och 0 när n går mot oändligheten (i fallet c=-1). Inga andra tal kommer att genereras av iterationen. Dvs talföljden går inte mot oändligheten utan är begränsad till ett område (som i detta fall enbart innehåller två punkter, de reella talen 0 och -1) i det komplexa talplanet. Eftersom talföljden inte går mot oändligheten, tillhör således punkten (-1,0) Mandelbrotmängden (se figuren).

I detta exempel kunde vi redan efter ett litet antal iterationer se att punkten i fråga tillhör Mandelbrotmängden. Dvs för just denna punkt gick det snabbt att för hand avgöra status. I andra fall kan det krävas tusentals eller miljontals iterationer. Där är uppenbarligen manuell räkning inget altenativ.

(Uppgift: Den intresseerade läsaren kan göra exakt samma sak som i exemplet ovan men i stället välja c=1 (punkten (1,0) — se figuren ovan). Resultatet blir då z₁=1, z₂=2, z₃=5, z₄=26, z₅=677 etc, dvs när n går mot oändligheten växer z_n snabbt mot oändligheten. Punkten (1,0) tillhör således inte Mandelbrotmängden, vilket också framgår av figuren ovan.)

Normala objekt har någon av dimensionerna; 0 dimensioner (punkt), 1 dimension (längd — linje), 2 dimensioner (längd och bredd, dvs storheten area — yta) eller 3 dimensioner (längd, bredd, höjd, dvs storheten volym — kropp). Fraktaler/kaossystem är emellertid så komplexa att de bl a kan ha dimensioner som inte är heltal (det finns ett mer generellt dimensionsbegrepp — Hausdorffdimension — som tillåter dimensioner som inte är heltal, men som tillämpat på vanliga objekt ger de normala heltalsdimensionerna).

Fraktaler kan således ha dimensioner som inte är heltal och de kan dessutom ha dimensioner som de egentligen inte borde kunna ha. Den linje som begränsar Mandelbrotmängden har t ex Hausdorffdimensionen 2, trots att det handlar om en linje (och linjer är per definition endimensionella oavsett om de är raka eller krökta). Mandelbrotmängdens begränsninglinje är således snarare en yta än en linje. Den är helt enkelt så komplex att den fyller upp en yta. En annan känd fraktal, Cantormängden (som består av oändligt många punkter inom en begränsad sträcka), har dimensionen ln(2)/ln(3)≈0,631 (ln(2) står för naturliga logaritmen av 2 etc), dvs den utgör ett mellanting mellan en nolldimensionell punkt och endimensionell linje (eftersom punkterna ligger så tätt — kallas ibland Cantordamm).

Om man gång på gång förstorar någonting som har struktur, avtar stukturen oftast, mer och mer, och det vi ser blir alltmer homogent. Förstorar vi tillräckligt mycket är all struktur till slut borta. Detta gäller både det som är designat av människor och det som finns i naturen. Förstorar vi t ex en människa med alla hennes strukturer, ser vi till slut bara kanske en enda strukturlös elektron, eller del av en sådan. I flygsimulatorer genereras kustlinjer efter satellitkartor. Förstorar man några gånger blir de oregelbundna kustlinjerna alltmer jämna och efter några ytterligare förstoringar är de mer eller mindre räta linjer. Så är inte fallet för en verklig kustlinje (även om även den, efter tillräckligt många förstoringar, blir strukturlös). Och så är definitivt inte fallet för fraktaler (vilka aldrig blir strukturlösa hur mycket vi än förstorar).

Ett fraktalgenererat träd.

I sciencefictionfilmer skapar man ofta främmande världar. Påhittade planeter med oceaner, kontinenter, bergskedjor, moln etc. Om man för hand, med fantasins hjälp, försöker rita kustlinjer, bergskedjor etc, är det svårt att få det att se naturligt ut. Speciellt moln är svåra att generera så att det ser rätt ut. Ofta blir det alldeles för regelbundet. Och är det oregelbundet så verkar det i alla fall vara påhittat. Därför tar man i sådana sammanhang ibland hjälp av fraktaler för att få det mer naturligt. Som i bilden på trädet ovan.

Hur många gånger vi än förstorar en fraktal, finns strukturer kvar. Även om vi förstorar Mandelbrotmängden oändligt många gånger, finns fortfarande samma struktur kvar, plus att nya strukturer dyker upp. Som påpekats ovan (och som delvis framgår av den videofilm som länkas till under den första bilden i denna artikel) så innehåller t o m Mandelbrotmängden sig själv oändligt många gånger. Kaos/fraktaler har tydligen en högre grad av komplexitet än normala objekt. Det är det som gör att kaotiska system är så svåra att fullt ut analysera och beskriva (även fast ekvationerna i sig är deterministiska och ger exakta förutsägelser). Samtidigt som fraktaler kan uppvisa stor skönhet och symmetri, uttrycker de ändå en form av kaos. Deterministiskt kaos skulle man kunna kalla det. Något som framstår som en motsägelse och en gåta. Här tycks matematiken närma sig poesins värld.

Och matematiken har utan tvekan poetiska övertoner. Den judisk-brittiske 1800-talsmatematikern James Joseph Sylvester ställde sig en gång följande retoriska fråga, "Skulle man inte kunna beskriva musiken som känslans matematik och matematiken som tankens musik?" Ja, varför inte...?

Tillbaka till artikeln "Allt är inte glamour när det gäller ekvationslösning och simulering."