"Det är synd att 99% av
journalisterna skall fördärva
förtroendet för en hel yrkeskår"
(okänd)

"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
(Artur Lundkvist)

"Ju längre ett samhälle
kommer från sanningen,
desto mer kommer detta
samhälle att hata dem
som säger sanningen"
(George Orwell)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

"För att komma till flodens
källa måste man simma
mot strömmen."
(Stanislaw Jerzy Lec)

"Jag noterar att alla de
människor, som är för
abort, redan är födda."
(Ronald Reagan)

Senast ändrad: 2018 05 11 14:43

Lite mer om de matematiska konstanterna

 

Mer om i, e och π

Talet π har vi redan diskuterat ganska ingående i huvudartikeln. För i och e gäller bl a:

Talet i, som är ett s k rent imaginärt tal, (se nedan) uppvisar många synnerligen intressanta egenskaper. Den kvantmekaniska beskrivningen av den atomära verkligheten innehåller det icke-reella (imaginära) talet i. Man har försökt att bygga en kvantmekanisk formalism utan talet i. Detta har inte lyckats, vilket är märkligt ur många synpunkter. Alla mätvärden (resultaten av mätningar) ligger ju på tallinjen (dvs är reella tal). Att då i, som ligger utanför tallinjen (se nedan), kan utgöra en grundbult i kvantmekaniken, framstår som synnerligen anmärkningsvärt. Talet i (precis som π och e) dyker upp (mer eller mindre oombett) i många, många olika fysikaliska sammanhang och tycks därför avspegla den fysikaliska verkligheten på ett så fundamentalt sätt att man kan säga att dessa tal har en av människan oberoende existens. Vi har således inte "hittat på" dessa tal, utan vi har upptäckt dem. Skulle det finns intelligent liv ute i universum, som formulerat vetenskapliga modeller av verkligheten, kan man vara säker på att dessa varelser känner till både π och e och i (även om de förmodligen använder helt andra symboler och talsystem för att beteckna dessa tal).
Den tredje konstanten, e, dyker upp i mängder av samband och formler inom fysik, kemi, ekonomi etc. Funktionen y=ex har den unika egenskapen att vara lika med sin egen derivata (y'=ex), dvs funktionens förändring i punkten x är lika med funktionens värde i samma punkt. Detta är en synnerligen viktig egenskap hos talet e (och kan sägas utgöra definitionen av talet e).

Både π och e kan serieutvecklas (skrivas som serier). Några möjliga serieutvecklingar för π är:

För e gäller t ex:

Serierna närmar sig de exakta värdena för π respektive e när antalet termer växer mot oändligheten. Det är sådana här serier som används för att beräkna talet π med många decimaler (se nedan). Man låter helt enkelt en superdator stå och tugga, länge, länge, så får man så många decimaler man vill ha. De två serier för π som ges ovan används dock inte vid denna typ av beräkningar, eftersom de konvergerar för långsamt (kräver mer datorkraft per decimal).

 

De reella talen

Låt oss nu gå in på en annan aspekt av π och e. Först lite grand om olika talområden.

Tal som kan skrivas som förhållanden mellan två heltal (bråk med heltal i täljare och nämnare) kallas rationella tal. T ex 1/4, 17/3 etc. Vid decimalutveckling av rationella tal får man antingen ett ändligt antal decimaler (t ex 1/4=0,25) eller också ett oändligt antal decimaler, som består av en sifferföljd, vilken upprepas oändligt många gånger (t ex 17/3=5,666666...). I det senare fallet har vi ett oändligt antal sexor som upprepas. Sifferföljden i decimalutvecklingen av 17/3 består således av en enda siffra (6) som upprepas. Man säger då att perioden för decimalutvecklingen är ett (en enda siffra som upprepas). Om vi i stället tar det rationella talet 1/7, blir decimalutvecklingen 1/7=0,142857142857142857... I detta fall är perioden 6 (dvs de sex siffrorna 142857 upprepas ett oändligt antal gånger). I praktiken avrundar man givetvis (endast i sällsynta undantagsfall behöver man mer än 10 decimaler) och avrundat till tre decimaler får vi t ex 1/7≈0,143. Läsaren kan själv roa sig med att försöka förstå varför vi får en periodicitet hos rationella tal — prova t ex att för hand utföra divisionerna 17/3 och 1/7 med ett lämpligt antal decimaler.

Observera att decimalkommats placering inte spelar någon roll. 17/30=0,5666..., 17/3=5,666... och 170/3=56,666... etc. Periodiciteten kan börja till vänster eller höger om decimalkommat. Innan periodiciteten uppenbarar sig, kan vi ha ett antal siffror utan periodicitet, men det slutar alltid med att samma siffra eller siffergrupp repeteras oändligt många gånger. Det är denna periodicitet vi talar om.

Tal som inte kan skrivas som ett förhållande mellan heltal kallas irrationella tal. Exempel på irrationella tal är √2, π och e. Att bevisa att √2 är ett irrationellt tal är relativt enkelt (och gjordes av Pythagoréerna redan på 500-talet f Kr — klicka här för att se detta bevis). I duktiga klasser på gymnasieskolans Naturvetenskapsprogram brukar man gå igenom detta bevis med eleverna. Bevisen för att π och e är irrationella är däremot betydligt svårare och inte förrän på senare delen av 1700-talet bevisades detta.

Hos den Pythagoreiska skolan på 500-talet f Kr spelade de rationella talen en avgörande roll. Pythagoras (född på den grekiska ön Samos) levde mellan ca 570 och 495 f Kr. Han startade sin skola i den italienska staden Kroton och grundade där en slags matematisk pseudoreligion. De invigda fick svära tystnadsed och levde tillsammans i en asketisk livsstil. Pythagoréerna sågs med misstro av det omgivande samhället (på grund av sin hemlighetsfullhet) och i slutet av 500-talet brändes deras hus ned, varvid Pythagoras eventuellt omkom.
Pythagoréerna menade att allting kunde beskrivas och förstås utifrån heltal, och därmed i förlängningen utifrån rationella tal (eftersom de senare består av kvoter mellan heltal — heltalen själva är f ö rationella tal, eftersom t ex talet 5 kan skrivas som 5/1, 10/2, 15/3 etc). Ett exempel är deras musikskala (den pythagoreiska skalan), vilken åstadkoms genom frekvensintervall med proportionen 3:2 (3/2), dvs genom ett rationellt tal. När man delade en sträng i proportionen 3/2 och sedan knäppte på strängen på båda sidor om delningspunkten, upptäckte man nämligen att de två toner som då uppstod klingade vackert tillsammans.
Att påstå att det existerade tal som inte var rationella, var i pythagoréernas värld lika med hädelse av värsta slag. Det sägs att den pythagoré (eventuellt vid namn Hippasos) som bevisade att √2 inte är ett rationellt tal, helt sonika slängdes överbord under en sjöresa. Enligt en annan version beordrade Pythagoras att han skulle dränkas (båda dessa versioner säger ju egentligen samma sak). Man vet givetvis inte med säkerhet om detta är sant, men omöjligt är det inte.

De rationella och irrationella talen tillsammans bildar de reella talen, vilka utgör alla tal på tallinjen.

 

De komplexa talen

Den imaginära enheten i definieras genom i2=-1. För varje reellt tal a gäller att a2≥0. Ett reellt tal i kvadrat (gånger sig självt) är således alltid positivt (eller noll om talet självt är noll). Att så är fallet följer av att minus gånger minus är lika med plus, dvs produkten av två negativa, reella tal blir ett positivt tal (och kan således aldrig bli negativ). De reella talen utgörs, som nämnts ovan, av alla tal som ligger på tallinjen. Eftersom talet i upphöjt till 2 (i2) är negativt (-1), kan i omöjligen vara ett reellt tal och kan således inte ligga på tallinjen, utan måste ligga utanför denna. Sådana tal kallas icke-reella eller imaginära. De reella talen (talen på tallinjen) plus de imaginära talen (talen utanför tallinjen) bildar tillsammans de komplexa talen (de reella talen utgör således en delmängd av de komplexa talen).

Generellt kan ett komplext tal z skrivas som z=a+bi, där a och b är reella tal — a kallas realdelen och b imaginärdelen av z (Re z respektive Im z). bi stå för b⋅i. För reella tal gäller att imaginärdelen b=0 (7=7+0i) och för rent imaginära tal gäller att realdelen a=0. i är således ett rent imaginärt tal, vars realdel är lika med 0 och vars imaginärdel är lika med 1 (dvs i=0+1i). Exempel på komplexa tal är: -3,6 3i 5-2i 7+πi. De komplexa talen representeras i det komplexa talplanet, där den horisontella axeln anger realdelen (Re z) och den vertikala axeln imaginärdelen (Im z). De reella talen (17 -3,5 π etc) ligger således på den reella axeln (Re z) medan de rent imaginära talen (i -5i √17i etc) ligger på den imaginära axeln (Im z). Övriga tal har både real- och imaginärdel skilda från noll och ligger utanför axlarna. z=0 innebär att både realdelen och imaginärdelen är 0 (z=0+0i). Detta tal ligger i det komplexa talplanets origo.

Det komplexa talplanet med z=a+bi utritat. |z| kallas beloppet (eller absolutbeloppet) av z och är alltid ett positivt, reellt tal (beloppet är lika med avståndet till origo). Som framgår av figuren räknar man fram beloppet med hjälp av Pythagoras sats. Den reella axeln är således det man på högstadiet kallar tallinjen. På detta stadium anar få elever (givetvis) att det existerar tal utanför tallinjen.

 

Algebraiska och transcendenta tal

Det finns emellertid en ytterligare viktig indelning av talen. Talen π och e är s k transcendenta tal (också kallade icke-algebraiska tal) dvs tal som inte utgör lösningar till algebraiska ekvationer, dvs till (n:te grads)ekvationer av typ:

anxn + an-1xn-1 +... + a2x2 + a1x + a0 = 0         (1)

där koefficienterna an, an-1... a1, a0 är heltal. √2 är däremot ett algebraiskt (dvs icke-transcedent) tal, eftersom detta tal är lösningen till (den algebraiska) ekvationen:

x2 - 2 = 0
där i ekvation (1) a2 = 1, a1 = 0, a0 = -2 samt ak = 0 för övriga k, dvs k > 2.

Att bevisa att ett tal är transcendent är mycket, mycket svårt. Det dröjde ända till slutet av 1800-talet innan man lyckades bevisa att π och e är transcendenta tal. Det finns många flera transcendenta tal än π och e, t ex 23. Att det sistnämnda talet är transcendent klargjordes inte förrän 1934.

Ett gammalt problem, som hängt med ända sedan antiken, var den s k "cirkelns kvadratur", dvs att med hjälp av enbart passare och linjal (den senare får inte vara graderad) konstruera en kvadrat med exakt samma area som en given cirkel. Detta problem hade sysselsatt matematikerna i flera tusen år. När Lindemann 1882 lyckades visa att talet π är ett transcendent tal, löstes problemet med cirkelns kvadratur. Att π är ett transcendent tal innebär helt enkelt att det är omöjligt att (genom ett ändligt antal operationer), med hjälp av passare och linjal, konstruera en kvadrat med exakt samma area som en given cirkel (eftersom detta är liktydigt med att med dessa hjälpmedel exakt kontruera talet pi). Lösningen (eller kanske snarare svaret) på cirkelns kvadratur var således att det inte fanns någon lösning.

 

En poetisk betraktelse över pi och oändligheten

Låt oss avsluta detta avsnitt med ett fantasieggande exempel rörande talet π. Ett exempel som leder oss in i oändligheternas mystiska och absurda värld (läsaren får ta detta exempel mer som poesi än som matematik eller filosofi).

Det gäller att π=3,141592653589793... Sifferföljden fortsätter i all oändlighet och den tycks inte ha någon periodicitet. Detta gäller generellt för alla irrationella tal. Med hjälp av datorer (och serieutvecklingar enligt ovan) har talet pi beräknats med ett stort antal decimaler. Nya beräkningar görs hela tiden och år 2016 hade vi räknat fram pi med mer än 22 biljoner decimaler (en biljon är lika med 1000 miljarder, dvs har 12 nollor). Studiet av dessa decimaler plus teoretiska betraktelser talar för att pi:s decimalutveckling saknar periodicitet.

För att förstå vad detta innebär kan vi låta siffrorna i π:s decimalutveckling representera bokstäver och även siffror, skiljetecken etc. Vi kan t ex använda två decimaler för att koda för ett tecken (vi får då 100 möjligheter — 00 - 99 — varav 56 går åt för bokstäverna, stora och små, om vi väljer svenska som språk, 10 för siffror plus att det återstår 34 tecken att användas till bokstäver som é, ç samt skiljetecken, mellanslag etc). Den okodade teckenföljden för π blir då (vi tar inte med heltalssiffran 3); 14 15 92 65 35... (3,1415926535...). De tre punkterna talar om att sifferföljden fortsätter i all evighet. Eftersom decimalföljden hos pi är oändlig, kommer vi efter kodningen (enligt ovan — t ex 00=mellanslag, 01=a, 02=b... 28=ö, 29=A etc) att få en oändligt lång följd av bokstäver, siffror, mellanslag och olika tecken, dvs en oändligt lång teckensträng.

Man har gjort statistiska undersökningar av de siffror som hittills räknats fram för talet pi. Dessa undersökningar talar för att de olika siffrorna förekommer helt slumpmässigt (det är precis för att kunna undersöka detta som man lagt ned så mycket möda på att beräkna pi:s decimalutveckling). I en oändlig slumpföljd kommer varje möjlig konfiguration att finnas med. I textsträngen som genereras enligt ovan, kommer således varje möjlig teckenföljd att uppträda, hur lång eller kort den än är. Observera att det inte spelar någon som helst roll hur vi kodar, dvs vilket system vi använder för att koppla bokstäver tecken etc till de olika tvåsiffriga tal vi får ur π:s decimalföljd (14 15 92...)!

Eftersom varje litterärt verk utgör en följd av tecken, leder detta oss till följande, anmärkningsvärda slutsats: Mycket i π:s textsträng kommer att vara meningslöst, men här och där hittar vi korrekta ord, och hela meningar. I denna oändliga textmassa kommer att finnas alla böcker som någonsin skrivits, alla brev som skrivits, alla samtal som någonsin förts, alla tankar som tänkts etc, etc plus alla framtida samtal, böcker etc som ännu inte förts, skrivits eller tänkts. Teckensträngen kommer dessutom att innefatta alla spåk, som kan skrivas med latinska bokstäver (om vi nu har valt att koda till sådana bokstäver). Vi kommer således att hitta Shakespeares Hamlet på tyska, engelska, svenska, finska, portugisiska etc, etc i alla de olika översättningar som gjorts till dessa språk. Plus även översättningar som ännu inte gjorts (läsaren kan själv spinna vidare på temat). Pi tycks inrymma en hel värld i sig. Att π≈3,14 eller att π utgör förhållandet mellan omkrets och diamter i en cirkel, är förvisso korrekta påståenden. Det tycks dock som att talet pi inrymmer mycket mer än så.

Tillbaka till huvudartikeln "Matematikens osannolika användbarhet"


© Krister Renard