"Ormar äro älskliga varelser,
om man råkar tillhöra samma
giftgrupp"
(Artur Lundkvist)

"Ju längre ett samhälle
kommer från sanningen,
desto mer kommer detta
samhälle att hata dem
som säger sanningen"
(George Orwell)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"Civiliserade är de kulturer
och individer som respekterar
andra."
(hört på Axesskanalen)

"Det tragiska med vanligt
sunt förnuft är att det
inte är så vanligt."
(Albert Einstein)

"Halv kristendom tolereras
men föraktas.
Hel kristendom respekteras
men förföljs."
(Okänd)

"För att komma till flodens
källa måste man simma
mot strömmen."
(Stanislaw Jerzy Lec)

"Jag noterar att alla de
människor, som är för
abort, redan är födda."
(Ronald Reagan)

Senast ändrad: 2016 09 02 21:58

Matematikens osannolika användbarhet

Inledning

Den amerikanske fysikern och nobelpristagaren Eugene Wigner berättade under ett föredrag han vid ett tillfälle höll på University of New York[1] om två gamla skolkamrater som träffades igen efter många år. En av dem hade blivit statistiker och arbetade med befolkningsutvecklingsfrågor. Han visade sin gamle vän en artikel han skrivit och försökte förklara vad den handlade om. Den började som så många andra statistiska skrifter med ett inledande avsnitt om Gaussdistributionen, dvs den funktion vars graf utgörs av den berömda s k "klockkurvan". Matematiskt har denna distribution följande utseende:

σ (sigma) är här den s k standarddeviationen och μ medelvärdet. Vännen som inte var speciellt bevandrad i matematik och som inte riktigt ville tro på att matematiska formler kunde ha någonting med ett lands befolkningsutveckling att göra, undrade vad det var för en konstig krumelur som stod efter siffran 2 under rottecknet i nämnaren. "Det är den grekiska bokstaven π (pi)", svarade statistikern. Vännen såg nu en aning undrande ut.

— Och vad är pi för något?
— Det är förhållandet mellan omkrets och diameter i en cirkel.
— Nu driver du allt med mig, inte kan du lura i mig att befolkningen i ett land har något med omkretsen av en cirkel att göra.
— Ja men, du förstår att..., dvs det är egentligen självklart..., fast om man tänker efter...

Läsaren kanske frestas att le både åt statistikerns vånda när han försöker förklara det som för honom varit en självklarhet ända sedan universitetsåren, samt åt den gamle klasskamratens naivitet. När det gäller statistikerns egen matematiska förståelse kommer man osökt att tänka på en kanske något elak definition av vad det i allmänhet innebär att förstå, nämligen "att ha hört en sak så många gånger att man upphört att reflektera och förvånas över den". Jag tror dessvärre att det ligger en hel del i denna definition. Mycket av det nutidsmänniskan vant sig vid och upplever som självklart är långt ifrån så enkelt som man kanske intalar sig. Vad som anses vara självklart eller ej är ofta motiverat utifrån det s k sunda förnuftet. Det kan kanske då vara nyttigt att påminna läsaren om Albert Einsteins definition av detta, som "den samling förutfattade meningar vilka man skaffat sig redan i 18-årsåldern".

Beträffande de funderingar som statistikerns gamle skolkamrat hade om talet pi så ger de för många filosofiskt intresserade matematiker, trots att man kanske först tenderar att bara avfärda dem som naiva och baserade på okunnighet, vid närmare eftertanke upphov till en pirrande känsla av obehag. Talet pi har faktiskt en märklig tendens att dyka upp i alla möjliga och omöjliga sammanhang, som inte verkar ha någonting alls med vare sig cirklars omkrets eller geometri överhuvudtaget att göra.

Det berömda Buffons nålproblem är ett exempel på detta. Problemet kan formuleras på följande sätt: Antag att vi på ett plan har ritat ett antal parallella linjer så att avståndet mellan närliggande linjer är b. En nål med längden a (a≤b) kastas på planet.

Vi vill nu beräkna sannolikheten för att nålen skall beröra en av linjerna. Överraskande nog så ingår talet pi i resultatet, enligt vilket den sökta sannolikheten är 2a/πb. Genom att göra ett stort antal kast med en nål kan således ett bra närmevärde på pi erhållas (här hittar den intresserade läsaren en datorsimulering av Buffon's nålproblem).

Ett mycket vackert matematiskt samband som innehåller flera av matematikens viktigaste konstanter och som visar på den inneboende skönhet som finns i matematiken gavs av den mycket framstående schweiziske matematikern Leonard Euler (1707-1783) och ser ut på följande sätt:[2]

           e + 1 = 0           (1)

Förutom π så ingår också här den viktiga konstanten e (~2,718281828) och den s k imaginära enheten i, för vilken gäller att i=√-1 (egentligen i2=1). Dessa tre kan utan någon som helst tvekan klassificeras som matematikens viktigaste konstanter och kan sägas ha en av oss oberoende och absolut existens. Människan har således inte "hittat på eller uppfunnit" dessa konstanter utan snarare upptäckt dem. Men formeln innehåller mer skönhet än så. 1 och 0 är de grundläggande tal som återfinns i talteorins axiom och utifrån vilka alla andra tal kan bildas. "+" eller addition är den grundläggande matematiska operationen. Utifrån denna kan man härleda övriga matematiska operationer och funktioner som subtraktion, multiplikation, division, rotutdragning etc. En direkt tillämpning på detta finner vi i en dators processor, vilken i allmänhet endast kan utföra additioner och där de övriga operationerna förs tillbaka på denna operation. Likhet slutligen, vars symbol ges av "=", är den grundläggande matematiska relationen. Att matematikens grundläggande konstanter, tal, operationer och relationer kan kopplas ihop genom ett så enkelt och vackert samband som ovan kan knappast anses vara trivialt. Många matematiker och andra vetenskapsmän har därför i (1) och andra liknande formler sett ett indicium för att en intelligent skapare format den värld vi lever i.

 

Vad är matematik?

Någon lär har sagt att "filosofi är missbruket av en terminologi som uppfunnits för just detta ändamål". I samma anda skulle man kanske kunna säga att "matematik är den vetenskap som sysslar med skickliga operationer av begrepp och regler vilka uppfunnits för just detta ändamål".[3]

En matematisk teori bygger på ett antal obevisbara, oftast ganska enkla, nästan självklara påståenden, s k axiom. I botten finns naturligtvis också lämpliga definitioner. Utifrån axiom och definitioner, bevisar man sedan teorins olika satser med hjälp av logisk slutledning[4]. En välkänd sats inom geometrin säger t ex att vinkelsumman i en triangel är 180°. Eftersom satserna härleds genom logiska resonemang, är de helt oberoende av observationer. Matematiska satser är därför absolut sanna, eller som man också brukar säga, analytiskt sanna.[5] Detta innebär att ingen observation eller mätning kan omkullkasta en sådan sats. Man får emellertid betala ett högt pris för denna absoluta sanning, nämligen att satserna inte uttalar sig om den fysiska verkligheten. Skulle det t ex visa sig att vissa geometriska satser inte stämmer överens med observationer, kan man därför inte säga att dessa satser är osanna, utan endast att denna typ av geometri inte beskriver den verklighet i vilken vi lever.[6] En matematisk teori kan således betraktas som "en slags abstrakt, logisk lek med symboler", ungefär som schack eller damspel. Precis som att schackreglerna bestämmer detta spels begränsningar och möjligheter, så kommer en matematisk teoris axiom att bestämma vilka satser som denna teori ger upphov till.

Låt oss ta geometrin som ett konkret exempel. Euklides var en grekisk matematiker som levde ca 300 f Kr. Han gav ut ett verk på 13 band kallat Elementa, vilket innehöll all dåtida matematisk kunskap. De sex första böckerna samt den tionde boken handlade om plan geometri, dvs tvådimensionell geometri. Euklides formulerade där fem axiom, vilka tillsammans utgjorde grunden för hans geometri.

  1. Alla punktpar kan sammanbindas av en sträcka.
  2. Varje sträcka kan utsträckas obegränsat.
  3. För varje given sträcka kan en cirkel ritas med sträckan som radie och en ändpunkt som medelpunkt.
  4. Alla räta vinklar är kongruenta. (exakt lika)
  5. Genom en punkt (C) — se figur — utanför en rät linje (AB) kan exakt en rät linje dras parallellt med den ursprungliga räta linjen.

Med hjälp av dessa axiom samt vissa definitioner bevisade Euklides sedan de olika geometriska satserna (satsen om alternatvinklar, triangelns vinkelsumma, Pythagoras sats etc).

Det femte axiomet brukar kallas parallellaxiomet. Även om innebörden av detta axiom verkar självklar, visar det sig vara mer komplicerat till sin natur än de fyra första axiomen. Man trodde därför länge att det skulle vara möjligt att bevisa det femte axiomet utifrån de fyra övriga axiomen. I så fall skulle parallellaxiomet inte vara ett axiom utan en sats. Olika försök till sådana bevis gjordes under flera århundraden, men alla visade sig vid närmare undersökning vara felaktiga. Under slutet av 1800-talet lyckades man så småningom visa att parallellaxiomet var obevisbart utifrån de övriga fyra axiomen, dvs att det verkligen var ett axiom och inte en sats.

Matematikern David Hilbert, som på ett avgörande sätt bidrog till att klargöra parallellaxiomets natur[7], fann vid sina undersökningar att Euklides omedvetet förutsatt vissa saker utan att bevisa dessa. Euklides uppsättning axiom var därför ofullständig och kompletterades av Hilbert med bl a följande:

6. Om en linje skär en sida i en triangel måste den, förutsatt att den inte går genom ett hörn, skära ytterligare en sida i triangeln.

Utifrån Euklides axiom (med Hilberts tillägg) kan man alltså med hjälp av logisk slutledning bevisa geometrins olika satser. Alla dessa satser är logiskt sanna. Det finns ingen observation av verkligheten som exempelvis kan omkullkasta satsen om triangelns vinkelsumma. Skulle det vid mätningar på en verklig triangel visa sig att vinkelsumman inte är exakt 180 grader, blir slutsatsen att axiomen i detta fall inte är tillämpbara på den fysikaliska verkligheten. Den euklidiska geometrin ger i så fall ingen sann bild av verkligheten, utan det krävs en alternativ geometrisk teori för att beskriva denna korrekt. Det existerar två "icke-euklidiska" geometrier; hyperbolisk och elliptisk. Den senare kallas också Riemanngeometri och används bl a inom den allmänna relativitetsteorin. I de två icke-euklidiska geometrierna har man i huvudsak ändrat på parallellaxiomet, vilket i Riemanns version lyder:

5'. Genom en punkt utanför en rät linje kan oändligt många olika räta linjer dras parallellt med den ursprungliga räta linjen.[8]

I denna variant verkar parallellaxiomet långt ifrån självklart, ja det verkar direkt strida mot det sunda förnuftet. Vi skall inte här gå in på hur man kan rättfärdiga ett så till synes absurt axiom, utan nöjer oss bara med att konstatera att man med hjälp av ovannämnda icke-euklidiska geometrier kan förklara många kosmologiska fenomen, vilka inte låter sig förklaras inom ramen för den vanliga euklidiska geometrin.

Man måste komma ihåg att matematiken egentligen inte svarar på huruvida verkligheten är icke-euklidisk eller ej. Den ger oss bara mer eller mindre goda förklaringsmodeller för de fenomen vi kan observera. Det vi vid en viss tidpunkt inom vetenskapen kallar sanning, är ju ingenting annat än den enklaste och mest allmängiltiga modell av verkligheten, som vi för tillfället känner till.

Då vi tillämpar matematiken, översätter vi observerade regelbundenheter i naturen till matematiska samband. Att detta överhuvudtaget är möjligt är långt ifrån självklart. Det verkliga mysteriet inträffar dock när vi sedan manipulerar dessa samband i enlighet med en matematisk teoris regler och på så sätt erhåller nya matematiska samband, vilka uttrycker nya relationer mellan observerbara storheter. Förvånansvärt ofta visar det sig då att de nya och många gånger helt oväntade relationerna helt korrekt beskriver naturen. Och detta trots att den använda matematiska teorin som sådan i allmänhet helt saknar kopplingar till verkligheten.

Låt oss betrakta figuren nedan! Punkt A symboliserar observationerna av den fysikaliska verkligheten. I B har dessa observationer översatts till ett matematiskt samband. Mellan B och C omformas detta samband genom derivering, integrering, kombination med andra samband etc till ett nytt matematiskt uttryck, som symboliseras av punkt C. Detta uttryck "återförs" nu till den fysikaliska verkligheten i D, där det kontrolleras genom observationer och experiment.

Mellan B och C, där det ursprungliga, observerade sambandet bearbetas matematiskt, finns ingen kontakt med den fysikaliska verkligheten. Att det nya sambandet, trots detta, i de allra flesta fall stämmer överens med våra observationer kan därför inte tolkas på annat sätt än att verklighetens innersta natur är matematisk.

 

Varför kan naturlagarna uttryckas matematiskt?

Enkelt kan man säga att det finns två ytterlighetsriktningar när det gäller synen på naturlagarnas ursprung och uppbyggnad. Den ena av dessa hävdar att naturlagarna har kommit till slumpmässigt och att naturkonstanternas värden också är givna av slumpen. Elektronens laddning kunde t ex enligt denna syn precis lika gärna haft något annat värde än vad den har. Enligt den andra riktningen finns en intelligent plan bakom hela universum. Naturlagarnas utseende, naturkonstanternas värden etc ingår alla i denna plan. Elektronens laddning har precis det värde den har, eftersom detta värde är väsentligt för att planen skall fungera.

Det finns mycket som talar för att den senare synen på naturen är den riktiga. Teoretiska beräkningar visar t ex att om elektronens laddning skulle förändras med så lite som 5 %, medan övriga naturkonstanter och lagar är oförändrade, skulle inga kemiska föreningar kunna existera. Även många andra naturkonstanters värden, som t ex gravitationskonstanten, är lika kritiska.

Vetenskapsfilosofen John W N Sullivan som företräder den första skolan har sagt:

Vi är lagstiftarna i universum: det är till och med möjligt att vi inte kan erfara någonting annat än det vi själva har skapat och att den största av våra matematiska skapelser är universum självt.[9]

Den engelske astronomen Arthur Stanley Eddington förklarade i samma anda:

Vi har funnit att där vetenskapen har nått längst, så har intellektet bara återfått från naturen det som intellektet har lagt in i naturen. Vi har hittat ett underligt fotavtryck på det okändas strand. Vi har formulerat djupa teorier, den ena efter den andra, för att förklara detta avtrycks ursprung. Och till slut har vi lyckats i att rekonstruera den varelse som gjorde fotavtrycket. Och se! Det är vårt eget fotavtryck![10]

Matematikern Philip Jourdain kommenterade vid ett tillfälle sådana uttalanden med att säga:

En del filosofer har kommit fram till den häpnadsväckande slutsatsen att Sanningen tillverkas av människan, och att matematiken skapas av matematiker och att Columbus skapade Amerika.[11]

Det är visserligen sant att människan i viss mening skapat matematiken. De olika begrepp och redskap som där används; axiom, logisk standard, bevismetoder etc är frukter av människors intellektuella ansträngningar. På samma sätt var också de redskap som Columbus använde — skepp, navigationsmetoder etc — en produkt av mänsklig skapande förmåga. Ändå anser väl knappast någon att Columbus skapade Amerika. Bara för att människans skapande förmåga är en förutsättning för matematikens utveckling, kan detta knappast tas som något bevis för att själva de matematiska sanningarna skapas av matematiker. Många gånger har också matematiska teorier på ett anmärkningsvärt sätt gett resultat långt utöver de förutsättningar som legat till grund för dessa teorier. Den matematiska formuleringen av fysikens förhållandevis grova mätresultat, leder också ofta fram till en förvånansvärt exakt beskrivning av verkligheten. Wigner ger i sin föreläsning ett utomordentligt exempel på detta hämtat från kvantmekanikens barndom:

Den s k matrismekaniken vilken formulerades av Born, Jordan och framförallt Heisenberg byggde på den ursprungliga väteatommodellen, där man utnyttjade vissa symmetrier som gäller för denna enelektronatom. När Pauli några månader senare tillämpade matrismekaniken på väteatomen, överensstämde räkningarna helt med gjorda mätningar. Detta var tillfredsställande men inte speciellt konstigt, eftersom matrismodellen byggde på väteatomens symmetri. Miraklet inträffade när matrismekaniken sedan tillämpades på problem där Heisenbergs ursprungliga antaganden om symmetri inte längre var uppfyllda. Heliumatomer och andra tyngre atomer med fler än en elektron saknar nämligen dessa symmetrier, varför Heisenbergs matrismekanik egentligen inte borde kunna användas på dessa atomer. Förutsättningarna för Heisenbergs härledning är ju inte längre uppfyllda. Trots detta så visade sig beräkningar för heliums lägsta energinivå, som några månader senare gjordes av bl a Kinoshita vid Cornell University, stämma överens med gjorda observationer med en noggrannhet av en tiomiljontedel (vilket ligger helt inom mätnoggrannheten). Förvisso har vi här fått något ut av ekvationerna, som vi inte stoppade in!

Det verkar som om matematikens strukturer på något sätt korresponderar med den fysikaliska verklighetens strukturer. Eftersom matematikens grund ges av logiken, tyder våra erfarenheter på att verkligheten är logisk till sin natur. Varför så är fallet finns inget vetenskapligt svar på, annat än "att det råkade bli så när universum uppstod av en slump". Alla våra vetenskapliga strävanden förutsätter emellertid en inneboende ordning och logik i naturen. Vetenskapsfilosofen N Maxwell uttrycker detta mycket klart:

Våra [vetenskapliga] handlingar förutsätter i viss mening existensen av en oas någonstans i närheten, inte därför att vi anser det vara speciellt sannolikt att en sådan oas existerar utan snarare eftersom vi inte har något annat alternativ än att hoppas att en sådan oas existerar.[12]

Med "oas" menar här Maxwell denna mirakulösa ordning och skönhet som uppfyller hela vårt universum.

Albert Einstein, som också intresserade sig för just dessa frågor, har bl a sagt följande:

En sak är säker, det är en övertygelse jämförbar med en religiös känsla av att världen är uppbyggd rationellt och intelligent som ligger bakom allt avancerat vetenskapligt arbete. Denna starka tro, en tro kopplad till en djup känsla, på ett överlägset intellekt som uppenbaras i naturen, representerar mitt gudsbegrepp.
Rent instinktivt skulle man förvänta sig att världen vore kaotisk och omöjlig för tanken att analysera. Vetenskapen förutsätter emellertid en värld full av ordning, vilket vi egentligen inte har någon anledning att förvänta oss. Däri ligger miraklet som blir mer och mer uppenbart allt eftersom vår kunskap utvecklas... och här ligger svagheten hos ateisters och positivisters inställning, vilka är lyckliga då de tror att de lyckats tömma världen på det gudomliga och det mirakulösa.[13] (Fritt översatt)

 

Ett exempel

Att vetenskapsmän i sitt arbete ofta förutsätter en inneboende skönhet och logik i naturen visas av många exempel. En av de verkligt stora inom fysiken, James Clarke Maxwell (1831-1879), som ställde upp de viktiga lagarna för det elektromagnetiska fältet — Maxwells ekvationer — var övertygad kristen och fann det därför helt naturligt att utgå från denna skönhet och logik som han visste att Skaparen lagt ned i sin skapelse. Omkring 1870 började Maxwells studera följande uppsättning ekvationer (jag använder här de beteckningar som Maxwell själv använde):

De tre vänstra ekvationerna kallas tillsammans Ampéres lag [14] och anger sambandet mellan ett magnetfält B med komposanterna (α,β,γ) [15] och en elektrisk ström j med komposanterna (i, j, k). De högra ekvationerna utgör den välkända Faraday-Henrys lag[16] eller induktionslagen, vilken visar hur ett tidsberoende magnetfält (α,β,γ) ger upphov till ett elektriskt fält E med komposanterna (X, Y, Z).

För de olika storheterna gäller således sammanfattningsvis att:

Både Ampéres och Faraday-Henrys lag var kända före Maxwells tid. När nu denne betraktade dessa två lagar, stördes han av bristen på symmetri mellan dem. I den första lagen förekommer i vänsterledet strömmen (i, j, k) medan vi i den andra lagen i vänsterledet finner tidsderivatan av magnetfältet. Han prövade därför att byta ut vänsterledet i Ampéres lag mot tidsderivatan av det elektriska fältet och fick då följande ekvationer (de tre högra ekvationerna är som synes oförändrade):

Även om läsaren kanske varken förstår innebörden av de nya eller de ursprungliga ekvationerna, förmodar jag att de flesta ändå tycker ett den nya uppsättningen ekvationer i viss mening är "vackrare" eller i varje fall mer symmetrisk än den ursprungliga. Symmetrin framgår kanske ännu tydligare — även om uttrycken samtidigt blir mer svårförståeliga för den matematiskt oskolade läsaren — om man skriver den nya uppsättningen ekvationer i modern, kompakt vektorform:[17]

Det vänstra uttrycket är den omändrade Ampéres lag, medan det högra uttrycket är den oförändrade Faraday-Henrys lag. Bortsett från ett minustecken ser vi nu hur symmetrin mellan de magnetiska och elektriska fälten är fullständig. Det elektriska fältet E beror av det magnetiska fältet B på precis samma sätt som B beror av E.

Det nya sambandet som Maxwell kom fram till utifrån sin symmetribetraktelse innebar att det kunde finnas en elektrisk ström i tomma rummet (vakuum), dvs under förhållanden då ingen trott att en sådan ström var möjlig. Då han drog konsekvenserna av dessa teoretiska strömmars existens, kom han fram till det helt oväntade resultatet att en förändring av en elektrisk ström på ett ställe kunde ge upphov till en motsvarande förändring i en långt avlägsen punkt genom vågor som gick från den ena punkten till den andra genom ett absolut tomt mellanliggande rum. Knappast någon, inte ens Maxwell själv, vågade tro att denna slutsats verkligen var riktig. Det verkade alltför osannolikt. Några år senare lyckades dock Heinrich Hertz framställa och upptäcka sådana vågor, vilket som bekant skulle komma att på många sätt innebära en fullkomlig revolution för mänskligheten.

Att några av fysikens viktigaste ekvationer har den fasta övertygelsen om ett universum fullt av ordning och harmoni snarare än matematiska överväganden att tacka för sin tillkomst, upplevs av många människor som mycket förvånande. Det stämmer föga överens med den sterila och mekaniska bild av matematik och naturvetenskap som tyvärr ofta ges i skolan. Och det måste vara synnerligen svårt att förena detta med tanken att naturlagarnas och naturkonstanternas bakgrund är att finna i slumpen!

 

Grunden till naturens ordning

Filosofen och matematikern Alfred N Whitehead (1861-1947) sade i en föreläsning han år 1925 höll på Harvard University, med titeln "Science and the Modern World att kristendomen är vetenskapens moder på grund av det medeltida hävdandet av Guds rationalitet.

Tron på en rationell Gud gav de första vetenskapsmännen en orubblig tro på att varje händelse kan sammanlänkas med en orsak på ett exakt och entydigt sätt. På detta sätt kan man upptäcka allmänna principer i naturen. Utan denna tro skulle vetenskapsmännens outtröttliga arbete vara utan hopp. Det är därför ingen slump att den moderna vetenskapen uppstått just i den judisk-kristna kultursfären.[18]

Den engelske naturfilosofen Stephen Hales (1677-1761) uttrycker denna tro på följande sätt:

Eftersom det är vår övertygelse att den allvise Skaparen vinnlagt sig om synnerligen exakta proportioner vad gäller antal, mått och vikt vid förfärdigandet av alla ting, måste den lämpligaste metoden att nå insikt om de delar av skapelsen som vi kan observera, rimligtvis vara att räkna, mäta och väga.

Filosofen Charles Sanders Peirces funderingar 200 år senare går på sätt och vis åt samma håll. Till skillnad mot Hales tror dock inte Peirce på en rationell Skapare och kan därför inte heller finna någon förklaring till varför matematiken är så användbar som den är. Han säger:

Det är troligt att det finns en hemlighet här som återstår att upptäcka... Matematikens enorma användbarhet i naturvetenskaperna är något som gränsar till det mystiska och ... det finns ingen rationell förklaring till detta. [19]

Norman Campbell, brittisk fysiker och filosof är också förvånad över matematikens anmärkningsvärda förmåga att förutsäga:

Varför förutsäger de [ekvationerna]? Vi kommer åter tillbaka till den fråga som vi inte kan undvika. Det slutgiltiga svar som jag måste ge är att jag inte vet, att ingen vet och att troligtvis ingen någonsin kommer att veta.[20]

Varför fungerar matematiken? Varför passar den in i den fysikaliska verkligheten? Vilken är orsaken till den mystiska överensstämmelsen mellan matematiska förutsägelser och empiriska observationer. Hur kan manipulerandet av symboler som vi själva har uppfunnit och som manipuleras efter regler som vi själva formulerat och ibland dessutom bryter mot, uppenbara det som ligger utanför våra sinnen? Att den ordning som vi genom matematiken observerar i naturen skulle vara skapad av oss själva, verkar föga troligt. Den franske vetenskapshistorikern Pierre Duhem säger t ex:

Det är omöjligt för oss att tro att den ordning och organisation som ges av en teori inte samtidigt reflekterar en bakomliggande, verklig ordning och harmoni.[21]

Om matematiken bara är en produkt av människans eget förnuft, kommer svaren på våra frågor att för alltid förbli ett mysterium. Är det i stället så att universum och därmed också människan återspeglar ett förnuft som är alltings yttersta orsak, har vi redan svaret. Det som är skapat vittnar om Skaparens egenskaper. Det kristna svaret på dessa frågor är att Gud, som själv är rationell, har skapat ett rationellt universum och också gett människan ett intellekt med kapacitet att åtminstone delvis omfatta och förstå skapelsens struktur.

Att den matematiska formuleringen av fysiken och andra naturvetenskaper, trots att den ofta är grundad på ganska grova observationer av den fysikaliska verkligheten, ändå ger en förbluffande god verklighetsbeskrivning visar inte bara att det matematiska språket är det enda fungerande språk vi kan tala i detta sammanhang, utan också att matematiken i själva verket är det korrekta språket.

 

Gödels sats

(nedanstående utgör en mycket förenklad beskrivning av Gödels sats — en mer fullständig och korrekt diskussion skulle föra oss långt utanför det egentliga ämnet i denna artikel, och skulle dessutom kräva tiotals sidor för att vara meningsfull)

År 1931 publicerade den österrikiske matematikern Kurt Gödel[22] ett arbete inom matematisk logik, vilket väckte oerhört stor uppmärksamhet bland världens matematiker och som kommit att få stort inflytande på många olika områden. Det är ingen överdrift att påstå att Gödels slutsatser chockerade hela det matematiska etablissemanget.

Under 1800-talet hade man inom matematiken diskuterat huruvida sådana etablerade teorier som Euklides geometri (alternativt någon av de icke-euklidiska geometrierna) eller talteorin [23] kunde innehålla logiska motsägelser.

Att en teori är motsägelsefri innebär att det är omöjligt att utifrån axiomen både härleda ett påstående och dess motsats. Antag t ex att det vore möjligt att utifrån Euklides axiom bevisa att vinkelsumman i en triangel är 180 grader samtidigt som man också kunde bevisa att den inte är 180 grader. Euklides geometri skulle i så fall innehålla en motsägelse och därmed inte vara motsägelsefri.

Man kan tycka att existensen av en enda motsägelse inte skulle behöva vara så katastrofal, eftersom man då kunde välja ett av de bevisade påståendena som ett ytterligare axiom. Man skulle i exemplet ovan helt enkelt kunna lägga till satsen om triangelns vinkelsumma som ett sjätte axiom. Emellertid kan man bevisa, att om det är möjligt att utifrån axiomen härleda en enda motsägelse, så kan man inom teorin bevisa precis vilket godtyckligt påstående som helst (Klicka här, om du vill se ett bevis för att så är fallet!). Detta är naturligtvis oacceptabelt, eftersom en sådan teori vore helt oanvändbar.

Innan vi går vidare måste vi klargöra skillnaden mellan begreppen matematik respektive metamatematik.[24] Detta sker enklast genom ett par exempel.

Ett matematiskt påstående är t ex följande sats inom talteorin:

Det existerar oändligt många primtal (denna sats är givetvis bevisbar utifrån talteorins axiom).

Ett metamatematiskt påstående är följande påstående om talteorin:

Talteorin är motsägelsefri (detta är inte bevisbart utifrån talteorins axiom).

På metanivån uttalar man sig om matematiken. Man arbetar där så att säga utifrån och är inte begränsad av de matematiska axiomen.

Antag nu att vi med hjälp av metamatematiska resonemang kunde bevisa att talteorin är motsägelsefri. Då står vi inför ett nytt problem, nämligen att bevisa att metamatematiken i sin tur är motsägelsefri. Innan dess kan vi ju inte vara helt säkra på att vårt bevis för talteorins motsägelsefrihet är korrekt! Och vore det möjligt att åstadkomma ett sådant bevis för metanivåns motsägelsefrihet, skulle detta ligga på nästa högre nivå, metametanivån osv. Enda sättet att komma förbi problemet är om det vore möjligt att uttala sig om talteorin med hjälp av talteorin själv. (läsaren kanske inser att detta påminner en smula om [själv]medvetandets problem, där vi uppenbarligen har en återkoppling från ett neuralt systemet tillbaka till det neurala systemet självt — medvetandet är ju medvetet om sig självt).

Vad Gödel nu lyckades med och som var helt genialt var att översätta påståenden om talteorin till heltal genom den s k gödelnumreringen[25]. I och med att han nu kunde representera påståenden om talteorin inom denna teori själv, fanns möjligheten att med hjälp av de talteoretiska relationerna bevisa talteorins motsägelsefrihet, utan att gå utanför denna teori (dvs till den metamatematiska nivån).

De resultat han kom fram till väckte stor förvåning och i viss mån även pessimism bland samtida matematiker. Hans resultat kan sammanfattas i följande två påståenden:

1. Inom varje matematisk teori (formellt system), som är minst lika komplicerad som talteorin, så finns ett oändligt antal välformulerade påståenden, där vi inte med hjälp av teorin själv (dvs genom logisk härledning utifrån postulaten, genom ett ändligt antal bevissteg) kan avgöra om dessa påståenden är sanna eller falska. Sådana påståenden kallade Gödel för oavgörbara (unentscheidbare).
Förutom talteorin så utgör euklidisk geometri, de icke-euklidiska geometrierna och predikatlogiken av andra ordningen exempel på formella system för vilka Gödels sats gäller (sådana system kallas gödelska system).

En alternativ formulering av ovanstående, som ibland används i mer populära framställninger, är att det inom varje teori, som är minst lika komplex som talteorin, kan finnas ett oändligt antal sanna påståenden, vilka inte kan bevisas logiskt utifrån postulaten. Ibland går man ett steg längre och använder formuleringen "Gödel visade att det finns ett oändligt antal sanna påståenden...". Den senare formuleringen kan motiveras i viss mening, men följer inte med logisk nödvändighet från Gödels sats.

2. Om det är möjligt att inom en matematisk teori, som utgör ett gödelskt system, bevisa att denna teori är motsägelsefri, medför detta att teorin innehåller motsägelser.

Det första resultatet (1) visar att det (för ett gödelskt system) är omöjligt att utifrån axiomen avgöra om alla påståenden som kan formuleras inom systemet är sanna eller falska. Detta medför att det inom systemet kan vara omöjligt att logiskt (genom ett ändligt antal logiska operationer) härleda alla sanna påståenden. Det kan således finnas sanningar som vi aldrig — under ett ändligt tidsintervall — kan komma fram till genom enbart logisk bevisföring. Teorin själv kan inte avgöra om ett sådant påstående är sant eller falskt, och för att avgöra detta tvingas man därför att gå utanför teorin.

Ett sådant s k gödelskt påstående skulle kunna vara det som inom talteorin brukar gå under namnet Goldbachs antagande. Enligt detta gäller att varje jämnt tal kan skrivas som summan av två udda primtal. 14 kan t ex skrivas som summan av 11 och 3, vilka båda är primtal, 24 kan skrivas som summan av 7 och 17 eller 13 och 11 etc. Man har gjort omfattande undersökningar med hjälp av datorer och hittills har man inte hittat något jämnt tal som inte är summan av två udda primtal. Trots detta är Goldbachs antagande fortfarande obevisat. Det är i och för sig möjligt att man så småningom kommer att finna ett bevis, men oberoende av detta kan Goldbachs antagande ändå ge en känsla för vad ett gödelskt påstående skulle kunna innebära.

Det tidigare nämnda parallellaxiomet kan hjälpa oss att förstå vad ett gödelskt påstående skulle kunna innebära (jag påstår således inte att parallellaxiomet är ett verkligt gödelskt påstående — det handlar om en liknelse). Eftersom man lyckats visa att detta axiom, samt dess två möjliga negationer (vilka ger upphov till de båda icke-euklidiska geometrierna), alla är förenliga med Euklides övriga fyra axiom, är det tydligen omöjligt att utifrån de fyra första axiomen avgöra om parallellaxiomet är sant eller falskt. Detta är orsaken till att man som femte axiom antingen kan välja detta axiom eller någon av dess negationer.

Ett alternativt och ganska klargörande sätt att uttrycka ovanstående på finner vi i Theories of Everything av fysikern John Barrow:

Ingen av de möjliga slutsatser som genom de tillåtna slutledningsreglerna kan dras utifrån aritmetikens axiom kan innehålla mer information är vad axiomen själva innehåller. ...Aritmetikens axiom innehåller mindre information än vissa aritmetiska påståenden, varför de tillåtna slutledningsreglerna inte kan avgöra om dessa påståenden är sanna eller falska.[26]

Det Barrow skriver här är helt i enlighet med vad informationsteorin själv säger. Deduktion innebär, som diskuterats i inledningen av denna artikel, att man härleder slutsatser (satser, teorem) utifrån obevisbara axiom med hjälp av logikens regler. Deduktion innebär inte riktigt vad folk i gemen tror. Ofta säger man t ex i skolan att man har bevisat Pythagoras sats utifrån Euklides axiom. Det man då har bevisat är inte att Pythagoras sats är sann (vilket är vad folk i allmänhet tror) utan att Euklides axiom implicerar Pythagoras sats, dvs "om Euklides axiom Pythagoras sats" (om axiomen är sanna så är satsen sann). All deduktion handlar om implikation. Man kan med hjälp av informationsteorin bevisa (här återfinner läsaren ett sådant bevis) att implikation inte ger någon (shannonsk) informationsökning, dvs slutsatserna kan inte innehålla mer information än vad axiomen gör (något som också påpekats av filosofen Ludwig Wittgenstein). Det tycks som att det finns kopplingar mellan informationsteorin och Gödels sats (inte strikt matematiska kopplingar, men filosofiska sådana).

Gödels andra resultat krossade en gång för alla hoppet om att någonsin kunna bevisa att talteorin eller någon lika komplex teori är motsägelsefri utan att gå utanför denna teori. Vi måste alltså använda oss av ett kraftfullare och mer komplext system än talteorin för att visa att denna är motsägelsefri. För att vara helt säkra på att våra slutsatser är korrekta måste vi sedan förvissa oss om att även detta mer komplexa system är motsägelsefritt. Detta kräver enligt Gödel ett ännu kraftfullare system, osv i all oändlighet!

För enklare formella system, som satslogiken eller geometrin om vi plockar bort parallellaxiomet (och därmed får en betydligt mindre kraftfull geometri, vilken inte är kapabel att bevisa alla satser inom den euklidiska geometrin) gäller inte Gödels sats. Sådana system kan bevisas vara motsägelsefria inom systemet självt. Men priset vi får betala för denna säkerhet är att dessa system är mycket begränsade och i allmänhet otillräckliga för t ex vetenskapligt arbete.

Inte ens matematiken ger oss således tillgång till någon generell, absolut sanning. Varje gång vi utför numeriska beräkningar finns även ett moment av "tro" inblandad; tro på aritmetikens motsägelsefrihet. Vi må vara hur övertygade som helst att denna teori är motsägelsefri; Gödel visade en gång för alla att vi aldrig någonsin kommer att kunna bevisa detta logiskt.

Ett enkelt exempel kanske kan hjälpa oss att delvis förstå kontentan av ovanstående. Vi föreställer oss en kretensare[27], som kommer med följande påstående: "Kretensare ljuger alltid!" Om påståendet är sant uppstår omedelbart ett problem. Det har nämligen uttalats av en kretensare, och i detta fall har denne således talat sanning, varför påståendet är falskt (kretensare ljuger således inte alltid). Om påståendet är sant, måste det därför — om det uttalas av en kretensare — vara falskt!

För att avgöra hederligheten hos kretensarna måste vi av denna anledning använda någon som inte är kretensare själv (dvs en metakretensare) och som samtidigt är absolut hederlig (motsägelsefri). Vi måste alltså gå utanför systemet för att undvika ovanstående paradox. "Systemet av kretensare" kan i detta fall inte uttala sig om sig självt!

Vi skall inte fördjupa oss ytterligare i detta, utan konstaterar bara att det är långt ifrån trivialt att få ett logiskt system att uttala sig om sig självt. Den rena (strikt teoretiska) matematiken leder oss in i abstrakta rymder, där vi inte längre kan anknyta till kända landmärken (dvs begrepp som vi intuitivt förstår). Bertrand Russel, som var en av de matematiska logiker, vars resonemang Gödel byggde vidare på, är bl a känd för följande formulering:

Den rena matematiken är den vetenskap i vilken vi inte vet vad vi talar om och inte heller vet huruvida det vi säger är sant.

Tidigare har den s k reduktionismen diskuterats. Där nämndes bl a biologins försök att reducera det mänskliga medvetandet till logiska och ytterst sett atomära processer. Många filosofer menar att Gödels resultat också visar på svårigheterna att förklara medvetandet genom att betrakta hjärnan som en komplex dator, uppbyggd av logiska kretsar.

Oxfordfilosofen J R Lucas säger angående möjligheten att konstruera en medveten maskin i artikeln "Minds, machines and Gödel":

Hur invecklad vi än gör en maskin... kommer den att med Gödels tillvägagångssätt råka ut för att finna en formel som är obevisbar inom systemets ram. Den formeln kommer maskinen inte att kunna utpeka såsom sann trots att ett medvetande utan vidare inser att den är sann. Därför är maskinen fortfarande inte en adekvat modell av medvetandet.[28]

Tillbaka till Vetenskap och tro.
Tillbaka till avsnittet om "Predikatlogik..."
Tillbaka till avsnittet om "Vetenskaplig vardag och vetenskapliga revolutioner"

Du kan läsa mer om vetenskap och tro i:
Vetenskaplig sanning, en sanning med begränsningar!


[1] Richard Courant Lecture in Mathematical Sciences med titeln The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, 11/5 1950.
[2] Sambandet härleds lätt ur Eulers välkända definition eix = cos x + i sin x.
[3] Fritt citerat ur Wigners föreläsning.
[4] Eller mer exakt: En sats i en viss teori är ett inom denna teori "välformulerat påstående" som kan härledas utifrån axiom och definitioner genom logiska slutledningsregler.
[5] Det är egentligen fråga om implikation, dvs om axiomen är sanna är också satserna sanna.
[6] Genom att ändra på ett eller flera axiom kan man då bygga upp en ny geometri, som kanske bättre stämmer överens med våra observationer. En teori är dock matematiskt (analytiskt) sann oberoende av om den stämmer överens med verkligheten eller ej.
[7] Parallellaxiomet diskuteras närmare i avsnittet om "Gödels sats".
[8] Motsvarande axiom inom den hyperboliska geometrin är: Genom en punkt utanför en rät linje kan ingen rät linje dras parallellt med den ursprungliga linjen.
[9] "Mathematics as an art" i James R Newman's The World of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1956, vol 3, sid 2021.
[10] Space, Time and Gravitation: An outline of the General Theory of Relativity, University Press, Cambridge, sid 201.
[11] "The Nature of Mathematics", ib. Newman.
[12] "The Rationality of Scientific Discovery", Philosophy of Science 41 (74), sid 142.
[13] Einstein, Albert, Lettres a Maurice Solovine, Gauthier-Villars, Paris, 1956, sid 114-115.
[14] Den matematiskt insatte läsaren har säkert mött denna ekvation på formen j = rot B.
[15] α (=alfa) är x-komposanten, β (=beta) y-komposanten och γ (=gamma) z-komposanten. Med moderna beteckningar skulle vi skriva Bx, By och Bz.

[16] Vilken numera brukar skrivas     

[17] Dessa ekvationer utgör två av de fyra samband som ingår i Maxwells ekvationer och är bland de viktigaste grundvalarna för den moderna fysiken. De har möjliggjort tillämpningar som radio, TV, datorer etc.
[18] För en diskussion om de österländska religionernas roll i detta sammanhang se min bok Vetenskap och Tro, två vägar till en världsbild, Libris Förlag, 1989, sid 21.
[19] ib. Wigner's föreläsning.
[20] What is Science?, Dover 1952, New York, sid 71
[21] The Aim and Structure of Physical Theory, Weiner Philip P. (trans), 1954, University Press, Princeton, sid 26
[22] I "Über Formal Unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und Verwandter Systeme" i Monatshefte für Mathematik und Physik, nr 38 (1931) sid 173-198.
[23] Talteorin sysslar med de hela talens egenskaper, t ex existensen av primtal.
[24] Jfr metafysik.
[25] Varje metamatematiskt påstående kunde på detta sätt översättas till ett heltal, dvs ett element vars egenskaper beskrivs av talteorin själv.
[26] Vintage, London, 1991, sid 32.
[27] En person från Kreta. Inom logiken används detta påstående, som bygger på ett antikt talesätt, ofta som exempel på en paradox. Det får absolut inte ses som något uttalande om de verkliga innevånarna på den grekiska ön Kreta.
[28] Ur Minds and Machines, Prentice-Hall 1964, sid 57.

© Krister Renard