"Det är lätt att förlåta ett
barn som fruktar mörkret.
Den verkliga tragedin är
en vuxen som fruktar ljuset."
(Platon)

"Den som gifter sig med
tidsandan blir snabbt änka."
(Goethe)

"För att komma till flodens
källa måste man simma
mot strömmen."
(Stanislaw Jerzy Lec)

Bevis

Ett bevis för att förekomsten av en enda motsägelse inom en teori leder fram till att varje påstående är sant inom teorin kan tex göras med hjälp av s k Boolesk algebra (en form av symbolisk logik). Beviset, som är mycket lätt för den som är något insatt i denna algebra, kan göras på följande sätt (du kan läsa mer om Boolesk algebra här):

Antag att det inom ett formellt system finns ett (det räcker med ett enda) påstående A, som både är sant och falskt samtidigt (dvs man kan från axiomen bevisa både A och icke-A samtidigt), dvs (Icke-A betecknas här med , den logiska operationen ”eller” betecknas med ”+” och operationen ”och” med ”·”. A = 1 betyder att A är sann medan A = 0 innebär att A är falsk. skall alltså utläsas, ”A och icke-A är båda sanna”). A kan t ex vara påståendet ”triangelns vinkelsumma är 180˚ ”. innebär då att triangelns vinkelsumma inte är 180˚. betyder i detta speciella fall att triangelns vinkelsumma både är 180˚ och inte 180˚ samtidigt.

Låt B beteckna ett fullständigt godtyckligt påstående, exempelvis ”arean av en kvadrat är oberoende av sidornas längder”. Enligt den Booleska algebrans räkneregler får vi:

     ^(a)

I den sista likheten har DeMorgans sats använts [1]. Följande två påståenden kan nu visas vara ekvivalenta: [2]

"Icke-C eller D lika med ett" innebär alltså samma sak som "C implicerar D". Att högerledet i (a) är lika med ett, är därför liktydigt med att:

     ^(b)

Vi har tydligen visat att implicerar (medför) det godtyckliga påståendet B. Normalt gäller att varför (b) helt enkelt har den triviala innebörden att påståendet B antingen är sant eller falskt. Detta är knappast någon sensationell slutsats utan precis vad vi förväntar oss. Ett godtyckligt påstående är naturligtvis antingen sant eller falskt.

Om både A och icke-A är sanna samtidigt, får (b) emellertid en betydligt mer paradoxal innebörd. Implikation betyder ju, som läsaren säkert känner till, att om vänsterledet är sant, så måste därmed också högerledet vara sant. Under förutsättning att A och icke-A är sanna samtidigt, har vi således bevisat att B är sant, oavsett vad B säger. Eftersom B är ett godtyckligt påstående, följer att varje påstående är sant (inom teorin). Utifrån axiomen kan således varje godtyckligt påstående bevisas!

Existerar en enda motsägelse inom exempelvis geometrin är varje påstående om geometriska objekt sant. Arean av en kvadrat är följaktligen oberoende av sidornas längder. Samtidigt är också arean av en kvadrat lika med sidan upphöjt till två, sidan i kubik, kvadratroten av diagonalen etc etc, plus att arean naturligtvis också är lika med en kokt kalkon med vaniljsås. Ett formellt logiskt system med dylika egenskaper är givetvis både ointressant och oanvändbart.

Tillbaka till "Konsekvensen av motsägelser i logiska system"

---

[1] Enligt denna sats gäller att .
[2] Visas lätt med hjälp av sanningstabell.