Några beräkningar av en jetmotors effekt uttryckt i hästkrafter

En nördartikel i den högre skolan.

Man bör, innan man läser denna artikel, först läsa min artikel om jetmotorer (se länk i slutet).

I stort sett alla storheter nedan anges i SI-systemets grundenheter; s (sekund), m (meter), m/s, kg (kilogram), N (newton), W (watt), J (joule) etc (eller potenser av dessa, dvs millimeter, kilonewton etc). Enda undantaget är effektenheten hästkrafter (hkr), vilken inte ingår i SI-systemet, men som är allmänt vedertagen när det gäller motorer som driver genom en axel. Man har försökt att få bort hästkrafter i samband med bilmotorer och liknande för att i stället ange motorstyrkan i kilowatt (kW). Både hkr och kW är effektenheter så i princip fungerar båda lika bra. Trots ihärdiga försök har man emellertid inte lyckats något vidare med att mota ut hästkrafterna i kylan och det tycks som att hkr har gått segrande ur striden. Orsaken är förmodligen att de flesta som är bilintresserade har en intuitiv känsla för hur mycket exempelvis 100 hästkrafter är medan motoreffekt uttryckt i kW inte säger något. Det blir bara en tom siffra som man har svårt att relatera till. Det handlar ju helt enkelt om vad man är van vid.

Ett påpekande: Om man i en formel sätter in alla mätvärden uttryckta i SI-systemets grundenheter (dvs utan prefix som kilo, milli etc), så blir svaret också i någon av SI-systemets grundenheter utan prefix. Observera att kilogram (av historiska skäl) är grundenheten för massa i SI-systemet, trots prefixet "kilo".

Observera att en del av de siffror som anges nedan är ungefärliga (även om jag försökt välja siffror som är något så när realistiska). Framställningen försöker helt enkelt visa på principer och inte exakta värden. Jag tar tacksamt emot korrigeringar.

Föreliggande artikel handlar egentligen inte om hästkrafter versus dragkraft utan om effekt versus dragkraft. Det är begreppet effekt som är problematiskt när det gäller jetmotorer. Vilken effektenhet vi använder spelar ingen roll.

Jag skall nedan använda två olika metoder för att beräkna effekten hos en jetmotor.

 

Metod 1

Vid den första metoden utgår jag från sambandet mellan kraft (F), massa (m) och acceleration (a), vilket ges av F = m⋅a (F står för force). Detta samband kallas ofta för Newtons andra lag och utgör i själva verket definitionen av kraft. Enheten för kraft blir således kgm/s2 (kilogrammeter per sekundkvadrat), vilket fått namnet newton (N).

Mekaniskt arbete (energi) W (work) definieras som W = F⋅s, där F är den verkande kraften och s sträckan som kraften verkar. Vi förutsätter då att kraften är konstant (annars får man en integral, vilket vi inte kan gå in på här) samt att kraften är parallell med förflyttningen (F är således "kraften i vägens/förflyttningens riktning"). Enheten för arbete blir således newtonmeter (eller om vi så vill kgm2/s2 — kilogramkvadratmeter per sekundkvadrat), vilket man gett namnet joule (J). En enkel tillämpning av denna formel är ett objekt med massan m, som genom en kraft F förflyttas sträckan s.

Effekt P (power) definieras som arbete (energi) per tidsenhet, dvs P = W/t, där t är tiden under vilken energin W genereras eller förbrukas (om energin inte är konstant blir P medeleffekten under tiden t alternativt att vi använder en integral). Effekt har således enheten joule/sekund (kgm2/s3), vilket kallas watt (W — observera att bokstaven W således har två betydelser, dels anger den storheten arbete och dels betecknar den effektenheten watt).

Enligt formlerna ovan får vi sambandet P = W/t = (F⋅s)/t = F⋅(s/t) = F⋅v [i tredje likheten har jag använt algebra på högstadienivå], dvs effekten blir helt enkelt kraft gånger hastighet, eftersom s/t (sträcka genom tid) är definitionen av hastighet. Det är detta samband vi nu skall använda.

Både watt och hästkrafter är enheter för effekt. Ovan har visats att watt är lika med joule per sekund. Hästkrafter, som är en mekanisk enhet, kan definieras som den effekt vilken kan lyfta massan 75 kg en meter på en sekund. Sambandet mellan dessa två enheter ges av 1 kW = 1,341 hkr, vilket används nedan.
Kuriosa: En människa kan uthålligt (under flera timmar) prestera 0,1 hkr och en häst drygt 1 hkr (beroende på hästras). Maximalt, kortvarigt kan en häst prestera mer än 14 hkr och en människa 4 hkr (här finns givetvis stora individuella skillnader).

Låt oss först beräkna effekten hos GE-90-motorn (den motor som används av Boeing 777 och som diskuteras i min artikel om jetmotorer — länk nedan) vid vr (rotationshastigheten), dvs i samband med start vid den fart när planet roterar (lyfter nosen för att lätta). Vi betraktar i det följande bara en av planets två motorer. Vi antar att man använder full dragkraft, dvs 511 kN (se artikeln om jetmotorer), vilket man endast gör i speciella fall; t ex vid fullastat plan och/eller kort bana. F i formeln ovan är således 511 kN. Vi antar vidare att vr är lika med 165 knop, dvs 85 m/s. Båda dessa antagna siffror är realistiska.

Effekten blir då: P = F⋅v = 511⋅85 = 43435 kW = 58247 hkr. Eftersom vi sätter in dragkraften i kN (kilonewton) så får vi direkt effekten i kW (kilowatt).

Antag nu att vår Boeing 777 i stället befinner sig på cruise (höjd lika med 35 000 ft), med farten 478 knop, vilket är lika med 246 m/s. Enligt huvudartikeln (om flygmotorer) minskar dragkraften med höjden och i ett exempel som ges där har dragkraften reducerats till 1/6 om höjden är 35 000 ft. Om vi antar att denna siffra gäller för GE-90-motorn blir full dragkraft på denna höjd 511/6=85 kN. Vidare antar vi att motorerna är inställda på 81% av full dragkraft. Dragkraften F blir då F = 0,81⋅85 = 69 kN, vilket leder till att:

P = 69⋅246 = 16974 kW ≈ 22763 hkr.

När flygplanet precis skall till att lätta är effekten per motor, enligt beräkningarna ovan, lika med drygt 58 000 hkr medan den under cruise är lika med nästan 23 000 hkr.

Låt mig ge ett ytterligare exempel: Antag att vi med det amerikanska, tvåmotoriga jaktplanet Lockheed-Martin F-22 Raptor skall flyga på låg höjd med farten 1500 km/h (vilket jag gissar ligger i närheten av maxfarten på låg höjd för detta flygplan), dvs 416 m/s. Vi antar vidare att vi flyger med max motordragkraft (vilket är fullt realistiskt). Maximalt ger F-22:s motorer (inkluderande efterbrännkammare) vardera 156 kN. Effekten blir då:

156⋅416 = 64896 kW ≈ 87000 hkr.

Observera att F-22 har två sådana motorer, dvs sammanlagd motoreffekt är lika med 174 000 hkr!

En närmare analys visar att ovanstående metod att beräkna en jetmotors effekt leder till problem. Låt mig ge två exempel:

Antag att vi har två flygplan med exakt samma motorer och med exakt samma dragkraft (thrust). Vi antar vidare att det ena planet är mer strömlinjeformat än det andra och därför flyger 40 knop fortare vid samma motordragkraft. Enligt vår formel P = F⋅v kommer då motorerna på det snabbare planet att utveckla mer hästkrafter (eftersom v är större), trots att vi har exakt samma dragkraft F på motorerna.

Ännu mer tydligt framgår ovanstående om vi kedjar fast ett flygplan i marken och låter motorn/motorerna gå för fullt. Detta är situationen alldeles innan start från hangarfartyg. Planet, som har motorerna på fullt pådrag med tänd efterbrännkammare, hålls då tillbaka av en s k holdback bar, som sitter fast i däcket (när katapulten utlöses går en brytpinne i holdback bar av och planet far iväg). Tillämpar vi formeln P = F⋅v i detta fall får vi P = 0, eftersom v = 0 (F⋅0 = 0 oberoende av hur stor F är). Dvs trots att vi har full dragkraft på motorerna är "motorernas" effekt lika med noll.

Vi inser här att begreppet effekt, relaterat till jetmotorer, utifrån ovanstående modell, inte handlar om motorerna som sådana utan om hela flygplanet. Tar vi hänsyn till hela flygplanet och dess rörelse kan begreppet effekt möjligen ha en viss relevans (i en exakt definierad situation). Men att tala om effekten hos en jetmotor i sig, utan att ta hänsyn till hela sammanhanget, är således tämligen meningslöst.

 

Metod 2

Låt oss använda en ytterligare metod för att beräkna en jetmotors effekt. Metoden går ut på att beräkna hur mycket rörelseenergi (se formel nedan) ett plan har precis vid vr. Genom att dela denna rörelseenergi med tiden det tagit att accelerera flygplanet från stillastående till vr, får vi den medeleffekt motorerna utvecklat under accelerationen.

Vi tar återigen en Boeing 777 som exempel. Vi antar att startvikten är 320 ton (olika modeller av B777 har olika maximala startvikter — B777-200LR har t ex en maximal startvikt på 347,5 ton) och att vr = 165 knop, dvs 85 m/s. Jag har tittat på ett antal videoklipp från flightdeck på några olika jumbojet under start och tagit tid från att man drar på för start tills planet uppnår vr. Tiderna ligger mellan 20 s och 30 s. Jag har också räknat på vilken tid som teoretiskt behövs för att accelerera 320 ton till 85 m/s med 1022 kN dragkraft och får då resultatet 27 s, dvs i samma härad. Jag har då bortsett från att en del av motordragkraften går åt till att övervinna rullmotstånd och luftmotstånd. Låt oss därför sätta t = 30 s.

Rörelseenergi ges av formlen (W, m och v har samma betydelse som ovan): W = m⋅v2/2 = 320⋅852/2 = 1156000 kJ (eftersom massan uttrycks i ton blir energin i kilojoule).

Effekten blir då: P = W/t = 1156000/30 = 38533 kW = 51673 hkr. Observera att här ingår båda motorerna, dvs vi måste dela med 2 för att få effekten per motor. 51673/2 = 25837 hkr. Dvs ganska stor skillnad mot de 58247 hkr som vi fick enligt metod 1 för samma situation (dvs vid vr). Skillnaden beror på att vid metod 2 så får vi medeleffekten under starten (dvs under 30 s), medan metod 1 ger momentaneffekten vid vr. En enkel medelvärdesuppskattning av effekten vid metod 1 ger att medeleffekten (under accelerationen från stillastående till vr) blir (58247 - 0)/2 = 29123 hkr (vi förutsätter här att accelerationen är något så när konstant). Vilket ligger rätt nära 25837 hkr.

En del av motorernas effekt går, som påpekats ovan, åt till att övervinna rullmotstånd och luftmotstånd, vilka båda är avsevärda. Låt oss göra antagandet att 10 % av motorernas effekt används till att övervinna rull- och luftmotstånden (en gissning från min sida — hur realistisk den är spelar egentligen ingen roll, eftersom föreliggande artikel enbart försöker visa på principer). 90 % av motoreffekten blir enligt detta antagande rörelseenergi och 10 % friktionsförluster.

Vi får då att totala effekten hos en motor blir 25837/0,9 = 28707 hkr, vilket ligger anmärkningsvärt nära 29123 hkr.

Nu driver ju inte motorerna bara själva flygplanets rörelse utan de driver också generatorer och hydraulpumpar. En Boeing 777 är ett stort flygplan och det finns mängder av saker som förbrukar elektricitet och hydraulkraft. En jumbojet är som ett litet samhälle när det gäller elförbrukning. Belysning, dataskärmar, entertainmentanläggning, värmeskåp i pentryn etc, etc plus all navigationsutrustning och instrumentering. Plus att en del av kalluften från fläkten i motorerna (bleed air — se min artikel om jetmotorer — länk nedan) går in i kabinen för ventilation och trycksättning. Detta tar ganska mycket effekt från motorerna (enligt en artikel i Aviation Week drar bleed air på ett stort passagerarplan ca 700 hkr från en jetmotor). Bleed air stängs därför normalt av vid start från korta banor med tung last, för att få maximal thrust. Det finns således mycket som dränerar motorerna på energi och tar man hänsyn även till detta, skulle 28707 hkr justeras ytterligare något uppåt. Vi ser under alla förhållanden att både metod 1 och metod 2 ger samma storleksordning (runt 29 000 hkr) på medelmotoreffekten under acceleration från noll till vr. Så det är klart att någonting säger det väl. Och det är ju precis det jag sagt ovan, nämligen att det är bara meningsfullt att tala om en jetmotors effekt om man samtidigt specificerar exakt vilken situation man avser.

Dragkraft är således en egenskap hos en jetmotor (själva motorn i sig). Denna är relativt enkel att mäta. Effekt, som inte går att mäta direkt på en jetmotor, är en egenskap relaterad till en viss motor i en viss given, exakt definierad situation (t ex monterad på ett visst flygplan vid en viss given hastighet). Man kan således säga att en viss jetmotor har en viss maximal dragkraft. Däremot kan man inte säga att en viss jetmotor har en viss maximal effekt, eftersom effekten beror på faktorer utanför själva motorn. Dessa faktorer måste specificeras för att begreppet effekt skall få någon mening i samband med jetmotorer. Vilket tydligt framgår ovan.

En jetmotor ger (i stort sett) konstant dragkraft (F) med ökande fart (inom "normala" höjder) medan en kolvmotor ger konstant effekt (P) med ökande fart. Detta innebär (utifrån de samband som diskuterats ovan) att effekten (P) för en jetmotor ökar när farten (v) ökar (eftersom P = F⋅v och F är konstant) medan dragkraften (F) för en kolvmotor minskar med farten (F = P/v och P är konstant). Därför kan ett jetplan uppnå mycket höga farter (begränsat endast av luftmotståndet) medan ett kolvmotordrivet flygplan har betydligt lägre maximal fart (eftersom dragkraften minskar samtidigt som luftmotståndet ökar, kommer ganska snart luftmotståndet att vara lika stort som dragkraften, varvid accelerationen avstannar).

 

Avslutning

En ytterligare metod att uppskatta en jetmotors effekt skulle kunna utgå från att vi känner den exakta bränsleförbrukningen och sedan vet energiinnehållet per kg bränsle. Sedan måste man givetvis ta hänsyn till motorernas verkningsgrad etc. Förmodligen är det endast motortillverkaren som skulle kunna göra en sådan beräkning så att den blev korrekt.

Man skulle också kunna räkna på effekten hos de gaser som accelereras av motorn och strömmar ut genom utblåset. Även detta kan förmodligen endast göras av motortillverkaren. Den som inte har tillgång till de data som tillverkaren har, skulle antagligen behöva göra så grova approximationer så att resultatet, med all sannolikhet, skulle bli mer en gissning än en beräkning.

Metod 1 ovan (där vi använder P = F⋅v) framstår som mycket otillfredsställande och man kan undra vad resultatet egentligen innebär (relaterat till enbart motorerna). Det verkar under alla förhållanden ha föga med motorernas verkliga "styrka" att göra (en motors verkliga styrka blir ju inte noll bara för att flygplanets hastighet är noll). Metod 2 framstår som betydligt mer meningsfull. Där räknar vi helt enkelt fram medeleffekten under en start. Denna beräkning är fullt relevant och säger definitivt något om motorerna per se. Här finns förstås osäkerhetsfaktorer som hur mycket effekt som går åt för att övervinna rullfriktion och luftmotstånd och driva generatorer etc. Men detta kan givetvis uppskattas med ganska stor noggrannhet (ovan har jag mer eller mindre gissat på 10 %, eftersom föreliggande framställning handlar om principer).

När jag för en tid sedan satt och bläddrade i ett gammalt nummer av Aviation Week (March 28, 2005) hittade jag en intressant artikel om Boeing 787 Dreamliner. Där använde man uttrycket thrust horsepower, vilket definierades som dragkraft gånger fart, dvs det samband som jag ovan utnyttjar i metod 1. Man använder således denna typ av hästkrafter inom flygindustrin, vilket jag inte kände till. Ja, varje dag lär man sig något nytt. Och det får man vara tacksam för. I artikeln säger man att en en 787 på cruise utvecklar omkring 25 000 hkr (jag antar att detta är total effekt, dvs 12 500 hkr=9 348 kW per motor). Motorerna på 787 har en maximal dragkraft på 280 kN (det finns olika motorversioner och jag väljer den motor som har minst dragkraft). Om vi antar att dragkraften på cruise är 1/6 av max dragkraft (precis som i tidigare exempel), blir maximal dragkraft lika med 280/6=46 kN. Vi antar vidare att man använder 82% av max dragkraft, dvs 0,82⋅46=38 kN. Effekten blir då, vid farten 246 m/s:
P = 38⋅246 = 9348 kW ≈ 12500 hkr (jag har här räknat baklänges för att få samma värde som Aviation Week — de värden jag satt in ovan är dock fullt rimliga).
I artiklen skriver man också, "...if the big fans were thought of as turboprops, the shaft horsepower is roughly 30,000 hp", dvs om man räknar på axeleffekten på fläktaxeln (N1) så blir effekten ca 30 000 hkr (vilket jag tolkar som 15 000 hkr per motor). Detta visar på ytterligare ett sätt att räkna på effekt i en jetmotor. Axeleffekten är ju väldefinierad jämfört med att beräkna effekten genom omvandling av dragkraft. I detta fall bortser man dock från kärnmotorns axeleffekt (varifrån man driver generatorer etc) och avgastryck (som bidrar till totala dragkraften). Kärnmotorns bidrag till dragkraften utgör dessutom en allt större del av totala dragkraften (och därmed effekten) med ökande höjd. Dvs 15 000 hkr är en ganska grov underskattning av motorns totala effekt.

Sammanfattningsvis så ser vi att begreppet effekt tycks vara problematiskt när det gäller jetmotorer. Dragkraft är helt enkelt den storhet som är mest relevant som mått på styrkan hos en jetmotor. När man talar om en jetmotors effekt är det mest av pedagogiska skäl. En "vanlig människa" har ofta en intuitiv känsla för hur stor en hästkraft är (man jämför t ex med sin egen bil, vars hästkraftantal man känner till).

Tillbaka till artikeln "Jetmotorer — turbojet, turbofläkt och turboprop"
Tillbaka till huvudartikeln "Varför flyger flygplan?"
Tillbaka till Kristers Flygsida